Himpunan adalah salah satu konsep dasar matematika modern, yang digunakan di hampir semua cabangnya.

Dalam banyak masalah, perlu untuk mempertimbangkan serangkaian elemen tertentu secara keseluruhan. Jadi, seorang ahli biologi, yang mempelajari flora dan fauna di daerah tertentu, mengklasifikasikan semua individu berdasarkan spesies, spesies berdasarkan genus, dll. Setiap spesies adalah kumpulan makhluk hidup tertentu, dianggap sebagai satu kesatuan.

Untuk deskripsi matematis dari agregat tersebut, konsep himpunan diperkenalkan. Menurut salah satu pendiri teori himpunan - matematikawan Jerman Georg Cantor (1845-1918), "satu set adalah banyak hal yang kita anggap sebagai satu kesatuan". Tentu saja, kata-kata ini tidak dapat dianggap sebagai definisi yang ketat secara matematis dari suatu himpunan; definisi seperti itu tidak ada, karena konsep himpunan adalah yang awal, yang menjadi dasar dari konsep matematika lainnya yang dibangun. Tetapi dari kata-kata ini jelas bahwa kita dapat berbicara tentang himpunan bilangan asli, himpunan segitiga pada bidang.

Himpunan yang terdiri dari sejumlah elemen berhingga disebut berhingga, dan himpunan lainnya disebut tak berhingga. Misalnya, himpunan ikan paus di lautan berhingga, tetapi himpunan bilangan rasional tak berhingga. Himpunan hingga dapat ditentukan dengan menyebutkan elemen-elemennya (misalnya, himpunan siswa di kelas tertentu diberikan oleh daftar mereka di jurnal kelas). Jika himpunan terdiri dari unsur-unsur, maka tulislah :. Himpunan tak hingga tidak dapat ditentukan oleh daftar elemennya. Mereka biasanya ditetapkan dengan menunjukkan properti yang dimiliki semua elemen dari himpunan tertentu, tetapi tidak ada elemen yang bukan milik himpunan ini. Properti ini disebut karakteristik untuk himpunan yang sedang dipertimbangkan. Jika adalah singkatan dari kalimat “suatu unsur mempunyai sifat”, maka himpunan semua unsur yang mempunyai sifat dinotasikan sebagai berikut:. Misalnya, entri berarti himpunan akar persamaan, mis. banyak . Mungkin saja tidak ada satu pun elemen yang memiliki sifat (misalnya, tidak ada satu pun bilangan ganjil yang habis dibagi 2). Dalam hal ini, tidak ada satu elemen pun dalam himpunan. Himpunan yang tidak mengandung elemen disebut kosong. Itu ditunjuk oleh tanda.

Jika elemen milik himpunan, maka tulis:, jika tidak tulis: atau. Himpunan yang terdiri dari unsur-unsur yang sama disebut sama (kebetulan). Misalnya, himpunan segitiga sama sisi dan himpunan segitiga sama sisi adalah sama, karena mereka adalah segitiga yang sama: jika semua sisi dalam segitiga sama, maka semua sudutnya sama; sebaliknya, persamaan ketiga sudut segitiga menyiratkan persamaan ketiga sisinya. Jelas, dua himpunan hingga adalah sama, berbeda satu sama lain hanya dalam urutan elemennya, misalnya .

Setiap persegi adalah persegi panjang. Himpunan persegi dikatakan sebagai bagian dari himpunan persegi panjang, atau, seperti yang mereka katakan dalam matematika, adalah bagian dari himpunan persegi panjang. Jika himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan, maka tulis: atau. Untuk himpunan apa pun, inklusi dan benar.

Dari set ini, Anda dapat membangun set baru menggunakan operasi persimpangan, penyatuan, dan pengurangan. Perpotongan himpunan disebut bagian bersamanya, mis. himpunan elemen milik keduanya. Himpunan ini dilambangkan dengan:. Misalnya, persimpangan dua bentuk geometris adalah bagian umum mereka, persimpangan banyak belah ketupat dengan banyak persegi panjang - banyak kotak, dll.

Gabungan himpunan disebut himpunan yang terdiri dari elemen-elemen yang dimiliki oleh setidaknya salah satu himpunan tersebut. Dalam berbagai pertanyaan klasifikasi, himpunan direpresentasikan sebagai gabungan dari himpunan bagian yang saling berpasangan. Misalnya, satu set poligon adalah gabungan dari satu set segitiga, segi empat, ..., -gons.

Jika kita menerapkan operasi penyatuan dan persimpangan ke himpunan bagian dari himpunan tertentu, maka kita mendapatkan himpunan bagian dari himpunan yang sama lagi. Operasi ini memiliki banyak sifat yang mirip dengan penjumlahan dan perkalian bilangan. Misalnya, persimpangan dan persatuan himpunan memiliki sifat komutatif dan asosiatif, persimpangan adalah distributif terhadap serikat, yaitu. untuk setiap set dan relasinya benar, dll. Tetapi pada saat yang sama, operasi pada himpunan memiliki sejumlah properti yang tidak memiliki analog dalam operasi bilangan. Misalnya, untuk setiap himpunan persamaannya benar dan, hukum distributif kedua benar, dll.

Dengan menggunakan sifat operasi pada himpunan, Anda dapat mengubah ekspresi yang berisi himpunan, seperti halnya menggunakan sifat operasi pada bilangan, Anda dapat mengubah ekspresi dalam aljabar biasa. Aljabar yang muncul dengan cara ini disebut aljabar Boolean, sesuai dengan nama matematikawan dan logika Inggris J. Boole (1815-1864), yang mempelajarinya sehubungan dengan masalah logika matematika. Aljabar Boolean menemukan banyak aplikasi, khususnya dalam teori jaringan listrik.

Karakteristik utama dari himpunan hingga adalah jumlah elemennya (misalnya, himpunan simpul dari sebuah persegi berisi 4 elemen). Jika dalam himpunan dan ada bagian yang sama dari elemen, misalnya, jika, maka dari elemen himpunan ini dimungkinkan untuk membuat pasangan , dan setiap elemen dari, serta setiap elemen dari, termasuk dalam satu, dan hanya satu, pasangan. Mereka mengatakan bahwa dalam kasus ini korespondensi satu-satu dibuat antara elemen-elemen himpunan. Dan sebaliknya, jika antara dua himpunan berhingga dan dimungkinkan untuk membuat korespondensi satu-satu, maka mereka memiliki jumlah elemen yang sama.

G. Kantor mengusulkan untuk membandingkan himpunan tak hingga dengan cara yang sama. Mereka mengatakan bahwa set dan memiliki kardinalitas yang sama jika korespondensi satu-satu dapat dibuat di antara mereka. Membandingkan dengan cara ini himpunan yang terdiri dari bilangan, Cantor menunjukkan bahwa ada korespondensi satu-satu antara himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan rasional, meskipun himpunan bilangan asli hanya bagian dari himpunan bilangan rasional. . Jadi, dalam teori himpunan tak hingga, pernyataan bahwa "bagian lebih kecil dari keseluruhan" tidak lagi valid.

Himpunan yang memiliki kardinalitas yang sama dengan himpunan bilangan asli disebut dapat dihitung. Dengan demikian, himpunan bilangan rasional dapat dihitung. Contoh terpenting dari himpunan tak terhitung adalah himpunan semua bilangan real (atau, yang sama, himpunan titik pada garis lurus). Karena garis lurus kontinu, kekuatan yang tak terhitung seperti itu disebut kekuatan kontinum (dari kontinum Latin - "kontinyu"). Kardinalitas kontinum memiliki banyak titik bujur sangkar, kubus, bidang, dan semua ruang.

Selama bertahun-tahun, matematikawan telah memecahkan masalah: apakah ada himpunan, yang kardinalitasnya adalah penengah antara yang dapat dihitung dan kardinalitas kontinum. Pada tahun 60-an. abad kita, matematikawan Amerika P. Cohen dan matematikawan Ceko P. Vopenka membuktikan hampir secara bersamaan secara independen satu sama lain bahwa keberadaan himpunan seperti itu dan ketidakhadirannya tidak bertentangan dengan aksioma lain dari teori himpunan (seperti adopsi aksioma paralel tidak bertentangan dengan aksioma geometri lainnya).

Analisis matematika adalah cabang matematika yang berhubungan dengan studi fungsi berdasarkan gagasan fungsi yang sangat kecil.

Konsep dasar analisis matematika adalah nilai, himpunan, fungsi, fungsi sangat kecil, limit, turunan, integral.

besarnya segala sesuatu yang dapat diukur dan dinyatakan dengan suatu bilangan disebut.

Banyak disebut himpunan beberapa elemen yang disatukan oleh beberapa fitur umum. Unsur-unsur suatu himpunan dapat berupa angka, angka, benda, konsep, dll.

Himpunan ditunjukkan dengan huruf besar, dan elemen ditunjukkan dengan kelipatan dalam huruf kecil. Elemen himpunan diapit oleh kurung kurawal.

Jika elemen x milik himpunan x lalu menulis x∈NS (∈ - milik).
Jika himpunan A adalah bagian dari himpunan B, tulislah A B (⊂ - mengandung).

Himpunan dapat ditentukan dengan salah satu dari dua cara: dengan enumerasi dan menggunakan properti yang mendefinisikan.

Misalnya, set berikut ditentukan oleh enumerasi:

• A = (1,2,3,5,7) - satu set angka
• X = (x 1, x 2, ..., x n) - himpunan beberapa elemen x 1, x 2, ..., x n
• N = (1,2, ..., n) - himpunan bilangan asli
• Z = (0, ± 1, ± 2, ..., ± n) - himpunan bilangan bulat

Himpunan (-∞; + ) disebut nomor baris, dan setiap nomor adalah titik dari garis ini. Biarkan a menjadi titik sembarang pada garis bilangan dan adalah bilangan positif. Interval (a-δ; a + ) disebut -lingkungan titik a.

Himpunan X terbatas di atas (bawah) jika ada bilangan c sedemikian rupa sehingga untuk setiap x X pertidaksamaan x≤с (x≥c) berlaku. Angka c dalam hal ini disebut tepi atas (bawah) himpunan X. Himpunan yang dibatasi di atas dan di bawah disebut terbatas... Batas atas (bawah) terkecil (terbesar) dari suatu himpunan disebut tepi atas (bawah) yang tepat set ini.

Kumpulan angka dasar

n	(1,2,3, ..., n) Himpunan semua
Z	(0, ± 1, ± 2, ± 3, ...) Set bilangan bulat. Himpunan bilangan bulat mencakup banyak bilangan asli.
Q	Banyak angka rasional. Selain bilangan bulat, ada juga pecahan. Pecahan adalah ekspresi dari bentuk, di mana P- bilangan bulat, Q- alami. Pecahan desimal juga dapat ditulis sebagai. Misalnya: 0,25 = 25/100 = 1/4. Bilangan bulat juga dapat ditulis sebagai. Misalnya, sebagai pecahan dengan penyebut "satu": 2 = 2/1. Dengan demikian, bilangan rasional apa pun dapat ditulis sebagai pecahan desimal - tentu saja atau periodik tak terbatas.
R	Banyak dari semuanya bilangan asli. Bilangan irasional adalah pecahan non-periodik tak terhingga. Ini termasuk: Bersama-sama, dua set (bilangan rasional dan irasional) - membentuk satu set bilangan real (atau real).

Jika himpunan tidak mengandung unsur apapun, maka disebut set kosong dan direkam Ø .

Elemen simbologi logis

Notasi x: | x |<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

kuantor

Kuantifier sering digunakan saat menulis ekspresi matematika.

Pembilang adalah simbol logis yang mencirikan unsur-unsur berikut dalam istilah kuantitatif.

• ∀- kuantifikasi umum, digunakan sebagai pengganti kata "untuk semua", "untuk semua".
• ∃- kuantor eksistensial, digunakan sebagai pengganti kata "ada", "adalah". Kombinasi karakter !, yang dibaca hanya ada satu, juga digunakan.

Setel operasi

Dua himpunan A dan B sama(A = B) jika terdiri dari unsur-unsur yang sama.
Misalnya, jika A = (1,2,3,4), B = (3,1,4,2) maka A = B.

Konsolidasi (jumlah) himpunan A dan B disebut himpunan A B, yang elemen-elemennya termasuk paling sedikit salah satu himpunan ini.
Misalnya, jika A = (1,2,4), B = (3,4,5,6), maka A B = (1,2,3,4,5,6)

Persimpangan (produk) himpunan A dan B disebut himpunan A B, yang elemen-elemennya termasuk dalam himpunan A dan himpunan B.
Misalnya, jika A = (1,2,4), B = (3,4,5,2), maka A B = (2,4)

Perbedaan himpunan A dan B disebut himpunan AB, yang elemen-elemennya termasuk himpunan A, tetapi bukan anggota himpunan B.
Misalnya, jika A = (1,2,3,4), B = (3,4,5), maka AB = (1,2)

Perbedaan simetris himpunan A dan B disebut himpunan A B yang merupakan gabungan dari selisih himpunan AB dan BA, yaitu A B = (AB) (BA).
Misalnya, jika = (1,2,3,4), B = (3,4,5,6), maka = (1,2) (5,6) = (1,2, 5 , 6)

Sifat-sifat operasi pada himpunan

Sifat permutabilitas

A B = B A
A B = B A

Properti kombinasi

(A B) C = A (B C)
(A B) C = A (B C)

Set yang dapat dihitung dan tidak dapat dihitung

Untuk membandingkan dua himpunan A dan B, korespondensi dibuat antara elemen-elemennya.

Jika korespondensi ini satu-satu, maka himpunan tersebut disebut ekuivalen atau ekuivalen, A B atau B A.

Contoh 1

Himpunan titik kaki BC dan sisi miring AC dari segitiga ABC adalah kekuatan yang sama.

Dari berbagai macam semua jenis set kepentingan tertentu adalah apa yang disebut kumpulan angka, yaitu himpunan yang elemen-elemennya berupa bilangan. Jelas bahwa untuk bekerja dengan nyaman dengan mereka, Anda harus bisa menuliskannya. Kami akan memulai artikel ini dengan notasi dan prinsip penulisan himpunan numerik. Dan kemudian kita akan mempertimbangkan bagaimana himpunan numerik digambarkan pada garis koordinat.

Navigasi halaman.

Notasi set angka

Mari kita mulai dengan notasi yang diterima. Seperti yang Anda ketahui, untuk menunjuk set, huruf kapital alfabet Latin digunakan. Himpunan numerik, sebagai kasus khusus dari himpunan, juga dilambangkan. Misalnya, kita dapat berbicara tentang himpunan numerik A, H, W, dll. Yang sangat penting adalah himpunan bilangan alami, utuh, rasional, nyata, kompleks, dll., Bagi mereka, penunjukan mereka sendiri diadopsi:

• N adalah himpunan semua bilangan asli;
• Z adalah himpunan bilangan bulat;
• Q adalah himpunan bilangan rasional;
• J - himpunan bilangan irasional;
• R adalah himpunan bilangan real;
• C adalah himpunan bilangan kompleks.

Oleh karena itu, jelas bahwa Anda tidak boleh menyatakan himpunan yang terdiri, misalnya, dua angka 5 dan 7 sebagai Q, penunjukan ini akan menyesatkan, karena huruf Q biasanya menunjukkan himpunan semua bilangan rasional. Lebih baik menggunakan beberapa huruf "netral" lainnya, misalnya, A, untuk menunjukkan set numerik yang ditunjukkan.

Karena kita berbicara tentang penunjukan, di sini kita juga mengingat penunjukan himpunan kosong, yaitu himpunan yang tidak mengandung elemen. Dilambangkan dengan tanda .

Mari kita ingat juga penunjukan kepemilikan dan non-milik suatu elemen pada suatu himpunan. Untuk melakukan ini, gunakan tanda - milik dan - bukan milik. Misalnya, notasi 5∈N berarti bahwa angka 5 termasuk dalam himpunan bilangan asli, dan 5.7∉Z - pecahan desimal 5.7 bukan milik himpunan bilangan bulat.

Dan marilah kita juga mengingat kembali notasi yang digunakan untuk memasukkan satu himpunan ke himpunan lainnya. Jelas bahwa semua elemen dari himpunan N termasuk dalam himpunan Z, dengan demikian, himpunan numerik N termasuk dalam Z, ini dilambangkan sebagai N⊂Z. Anda juga dapat menggunakan notasi Z⊃N, yang berarti bahwa himpunan semua bilangan bulat Z termasuk himpunan N. Hubungan tidak termasuk dan tidak termasuk dilambangkan dengan dan masing-masing. Juga, tanda-tanda inklusi longgar dari bentuk dan digunakan, yang berarti, masing-masing, termasuk atau bertepatan dan termasuk atau bertepatan.

Kami telah berbicara tentang penunjukan, mari beralih ke deskripsi himpunan numerik. Dalam hal ini, kami hanya akan menyentuh kasus-kasus utama yang paling sering digunakan dalam praktik.

Mari kita mulai dengan himpunan bilangan yang berisi sejumlah elemen berhingga dan kecil. Himpunan numerik yang terdiri dari sejumlah elemen terbatas dapat dengan mudah dijelaskan dengan mendaftar semua elemennya. Semua elemen angka ditulis dipisahkan dengan koma dan diapit, yang konsisten dengan umum tetapkan aturan deskripsi... Misalnya, satu set tiga angka 0, 0.25, dan 4/7 dapat digambarkan sebagai (0, 0.25, 4/7).

Kadang-kadang, ketika jumlah elemen dari suatu himpunan numerik cukup besar, tetapi elemen-elemen tersebut mengikuti pola tertentu, elipsis digunakan untuk menggambarkannya. Misalnya, himpunan semua bilangan ganjil dari 3 sampai 99 inklusif dapat ditulis sebagai (3, 5, 7, ..., 99).

Jadi kami dengan lancar mendekati deskripsi himpunan numerik, yang jumlah elemennya tidak terbatas. Kadang-kadang mereka dapat dijelaskan menggunakan semua elipsis yang sama. Sebagai contoh, mari kita gambarkan himpunan semua bilangan asli: N = (1, 2. 3,…).

Mereka juga menggunakan deskripsi himpunan numerik dengan menunjukkan sifat-sifat elemennya. Dalam hal ini, notasi (x | properti) digunakan. Misalnya, notasi (n | 8 n + 3, n∈N) menentukan himpunan bilangan asli yang, jika dibagi 8, memberikan sisa 3. Himpunan yang sama dapat digambarkan sebagai (11,19, 27, ...).

Dalam kasus tertentu, himpunan numerik dengan jumlah elemen tak terbatas mewakili himpunan yang diketahui N, Z, R, dll. atau celah numerik. Pada dasarnya, himpunan numerik direpresentasikan sebagai Persatuan konstituennya memisahkan interval numerik dan himpunan numerik dengan jumlah elemen yang terbatas (yang kita bicarakan di atas).

Mari kita tunjukkan sebuah contoh. Misalkan himpunan bilangan adalah bilangan 10, 9, 8.56, 0, semua bilangan segmen [−5, 1,3] dan bilangan sinar bilangan terbuka (7, + ). Berdasarkan definisi persatuan himpunan, himpunan numerik yang ditunjukkan dapat ditulis sebagai: {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) ... Notasi seperti itu sebenarnya berarti suatu himpunan yang memuat semua elemen dari himpunan tersebut (−10, 9, 8.56, 0), [−5, 1.3] dan (7, + ).

Demikian pula, dengan menggabungkan berbagai rentang numerik dan himpunan angka yang terpisah, setiap himpunan numerik (terdiri dari bilangan real) dapat dijelaskan. Di sini menjadi jelas mengapa jenis interval bilangan seperti interval, setengah interval, segmen, sinar bilangan terbuka dan sinar bilangan diperkenalkan: semuanya, bersama dengan penunjukan himpunan bilangan individual, memungkinkan Anda untuk menggambarkan himpunan bilangan apa pun melalui serikat mereka.

Harap dicatat bahwa ketika Anda menulis kumpulan angka, angka penyusunnya dan interval angka diurutkan dalam urutan menaik. Ini bukan kondisi yang diperlukan, tetapi diinginkan, karena himpunan bilangan terurut lebih mudah direpresentasikan dan direpresentasikan pada garis koordinat. Perhatikan juga bahwa catatan tersebut tidak menggunakan celah numerik dengan elemen umum, karena catatan tersebut dapat diganti dengan menggabungkan celah numerik tanpa elemen umum. Misalnya, gabungan himpunan numerik dengan elemen-elemen yang sama [−10, 0] dan (−5, 3) adalah interval-setengah [−10, 3). Hal yang sama berlaku untuk penyatuan interval numerik dengan angka batas yang sama, misalnya, serikat (3, 5] (5, 7] adalah himpunan (3, 7], kita akan membahas ini secara terpisah ketika kita belajar menemukan persimpangan dan persatuan set numerik.

Representasi himpunan bilangan pada garis koordinat

Dalam praktiknya, akan lebih mudah untuk menggunakan gambar geometris dari set numerik - gambarnya aktif. Misalnya untuk memecahkan ketidaksetaraan, di mana perlu untuk memperhitungkan ODV, perlu untuk mewakili himpunan numerik untuk menemukan persimpangan dan / atau penyatuannya. Jadi akan berguna untuk memahami dengan baik semua nuansa gambar himpunan angka pada garis koordinat.

Diketahui bahwa terdapat korespondensi satu-satu antara titik-titik pada garis koordinat dengan bilangan real, yang berarti bahwa garis koordinat itu sendiri merupakan model geometrik dari himpunan semua bilangan real R. Jadi, untuk menggambarkan himpunan semua bilangan real, perlu untuk menggambar garis koordinat dengan bayangan di sepanjang panjangnya:

Dan seringkali mereka bahkan tidak menunjukkan asal dan segmen unit:

Sekarang mari kita bicara tentang gambar himpunan numerik, yang merupakan sejumlah angka terpisah yang terbatas. Sebagai contoh, mari kita menggambar himpunan bilangan (−2, 0.5, 1.2). Secara geometris, himpunan ini, yang terdiri dari tiga angka 2, 0.5 dan 1.2, akan menjadi tiga titik dari garis koordinat dengan koordinat yang sesuai:

Perhatikan bahwa biasanya tidak perlu membuat gambar persis untuk tujuan latihan. Seringkali, gambar skematis sudah cukup, yang menyiratkan penyimpanan skala opsional, sementara itu hanya penting untuk mempertahankan posisi relatif titik relatif satu sama lain: titik apa pun dengan koordinat yang lebih kecil harus berada di sebelah kiri titik dengan koordinat yang lebih besar. koordinat. Gambar sebelumnya secara skematis akan terlihat seperti ini:

Secara terpisah, dari semua jenis set numerik, interval numerik (interval, setengah interval, sinar, dll.) dibedakan, yang mewakili gambar geometrisnya, kami menemukan secara rinci di bagian ini. Kami tidak akan mengulangi diri kami di sini.

Dan tetap hanya memikirkan gambar set numerik, yang merupakan gabungan dari beberapa interval numerik dan set yang terdiri dari angka yang terpisah. Tidak ada yang rumit di sini: menurut arti serikat dalam kasus ini, semua konstituen dari himpunan himpunan numerik yang diberikan harus digambarkan pada garis koordinat. Sebagai contoh, kami akan menampilkan gambar himpunan bilangan (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (log 2 5, 5) (17, + ):

Dan mari kita membahas kasus yang cukup umum ketika himpunan numerik yang digambarkan mewakili seluruh himpunan bilangan real, dengan pengecualian satu atau beberapa titik. Himpunan tersebut sering diberikan oleh kondisi seperti x 5 atau x 1, x 2, x 3.7, dll. Dalam kasus ini, secara geometris, mereka mewakili seluruh garis koordinat, dengan pengecualian titik yang sesuai. Dengan kata lain, titik-titik ini harus "dicungkil" dari garis koordinat. Mereka digambarkan sebagai lingkaran dengan pusat kosong. Untuk kejelasan, kami akan menggambarkan set numerik yang sesuai dengan kondisi (set ini pada dasarnya ada):

Meringkaskan. Idealnya, informasi dari paragraf sebelumnya harus membentuk tampilan yang sama dari rekaman dan gambar himpunan numerik, serta tampilan interval numerik individu: catatan himpunan numerik harus segera memberikan gambarnya pada garis koordinat, dan dari gambar pada garis koordinat kita harus siap untuk dengan mudah menggambarkan nomor yang sesuai diatur melalui penyatuan interval individu dan set yang terdiri dari nomor terpisah.

Bibliografi.

• Aljabar: belajar. untuk 8 cl. pendidikan umum. institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M.: Pendidikan, 2008 .-- 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• A.G. Mordkovich Aljabar. Kelas 9. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-13., Dihapus. - M.: Mnemozina, 2011 .-- 222 hal.: Sakit. ISBN 978-5-346-01752-3.

Konsep dasar teori himpunan

Konsep himpunan adalah konsep dasar dalam matematika modern. Kami akan menganggapnya asli dan membangun teori himpunan secara intuitif. Mari kita beri gambaran tentang konsep awal ini.

Banyak Merupakan kumpulan objek (objek atau konsep), yang dianggap sebagai satu kesatuan. Benda-benda yang termasuk dalam koleksi ini disebut elemen set.

Anda dapat berbicara tentang banyak siswa tahun pertama departemen matematika, tentang banyak ikan di laut, dll. Matematika biasanya tertarik pada berbagai objek matematika: satu set bilangan rasional, satu set persegi panjang, dll.

Himpunan akan dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin, dan elemen-elemennya dengan yang kecil.

Jika adalah elemen dari himpunan M, lalu mereka berkata "milik M"Dan tulis:. Jika beberapa objek bukan merupakan elemen dari himpunan, maka mereka mengatakan "bukan milik" M"Dan menulis (kadang-kadang).

Ada dua cara utama untuk mendefinisikan himpunan: pencacahan elemen dan indikasinya properti karakteristik elemen-elemennya. Yang pertama dari metode ini digunakan terutama untuk himpunan berhingga. Saat mendaftar elemen-elemen himpunan yang dipertimbangkan, elemen-elemennya dikelilingi oleh kurung kurawal. Sebagai contoh, menunjukkan suatu himpunan, yang unsur-unsurnya adalah angka 2, 4, 7 dan hanya mereka. Metode ini tidak selalu dapat diterapkan, karena, misalnya, himpunan semua bilangan real tidak dapat ditetapkan dengan cara ini.

Properti karakteristik elemen himpunan M Apakah properti seperti itu yang dimiliki oleh setiap elemen yang memiliki properti ini? M, dan elemen apa pun yang tidak memiliki properti ini bukan milik M... Himpunan elemen dengan properti dilambangkan sebagai berikut:

atau .

Set yang paling umum memiliki sebutan khusus mereka sendiri. Di masa depan, kami akan mematuhi notasi berikut:

n= Apakah himpunan semua bilangan asli;

Z= - himpunan semua bilangan bulat;

- himpunan semua bilangan rasional;

R- himpunan semua bilangan real (nyata), mis. bilangan rasional (pecahan periodik desimal tak hingga) dan bilangan irasional (pecahan non-periodik desimal tak hingga);

- himpunan semua bilangan kompleks.

Mari kita berikan lebih banyak contoh khusus untuk menentukan himpunan dengan menentukan properti karakteristik.

Contoh 1. Himpunan semua pembagi alami dari 48 dapat ditulis sebagai berikut: (notasi hanya digunakan untuk bilangan bulat, dan artinya habis dibagi).

Contoh 2. Himpunan semua bilangan rasional positif kurang dari 7 ditulis sebagai berikut:.

Contoh 3. - interval bilangan real dengan ujung 1 dan 5; - Segmen bilangan real dengan ujung 2 dan 7.

Kata "banyak" menunjukkan bahwa ia mengandung banyak unsur. Tapi tidak selalu demikian. Dalam matematika, himpunan yang hanya berisi satu elemen dapat dipertimbangkan. Misalnya, himpunan akar bilangan bulat dari persamaan ... Selain itu, lebih mudah untuk berbicara tentang himpunan yang tidak mengandung satu elemen pun. Himpunan seperti itu disebut kosong dan dilambangkan dengan . Misalnya, himpunan akar real dari persamaan tersebut kosong.

Definisi 1. Himpunan dan disebut setara(dilambangkan dengan A = B) jika himpunan ini terdiri dari elemen yang sama.

Definisi 2. Jika setiap elemen himpunan termasuk dalam himpunan, maka kita sebut himpunan bagian set.

Legenda: ("termasuk dalam"); ("Termasuk").

Jelas bahwa dan himpunan itu sendiri adalah himpunan bagian dari himpunan. Setiap himpunan bagian lain dari himpunan disebut bagian kanan... Jika dan, maka mereka mengatakan bahwa “ A – bagian yang tepat"Atau itu" Dan itu secara ketat termasuk dalam"Dan tulis.

Pernyataan berikut ini jelas: orang banyak dan adalah sama jika dan hanya jika dan.

Pernyataan ini didasarkan pada metode universal untuk membuktikan kesetaraan dua himpunan: untuk membuktikan bahwa himpunan dan sama, itu cukup untuk menunjukkan bahwa ,A adalah himpunan bagian dari himpunan .

Ini adalah metode yang paling umum, meskipun bukan satu-satunya. Kemudian, setelah berkenalan dengan operasi pada set dan propertinya, kami akan menunjukkan cara lain untuk membuktikan kesetaraan dua set - menggunakan transformasi.

Sebagai kesimpulan, kami mencatat bahwa seringkali dalam satu atau lain teori matematika, seseorang berurusan dengan himpunan bagian dari himpunan yang sama kamu yang disebut universal dalam teori ini. Misalnya, dalam aljabar sekolah dan analisis matematis, himpunan bersifat universal R bilangan real, dalam geometri - satu set titik dalam ruang.

Tetapkan operasi dan propertinya

Pada himpunan, Anda dapat melakukan tindakan (operasi) yang menyerupai penambahan, perkalian, dan pengurangan.

Definisi 1. Konsolidasi himpunan dan disebut himpunan, dilambangkan dengan, setiap elemen yang dimiliki oleh setidaknya salah satu himpunan atau.

Operasi itu sendiri, sebagai akibatnya diperoleh himpunan seperti itu, disebut serikat pekerja.

Catatan singkat definisi 1:

Definisi 2. Persimpangan himpunan dan disebut himpunan, dilambangkan dengan, berisi semua elemen tersebut dan hanya elemen tersebut, yang masing-masing dimiliki dan, dan.

Operasi itu sendiri, yang menghasilkan himpunan, disebut perpotongan.

Definisi 2 singkatnya:

Misalnya, jika , , kemudian , .

Himpunan dapat digambarkan sebagai bentuk geometris, yang memungkinkan Anda untuk mengilustrasikan operasi pada himpunan secara visual. Metode ini diusulkan oleh Leonard Euler (1707-1783) untuk analisis penalaran logis, digunakan secara luas dan dikembangkan lebih lanjut dalam karya matematikawan Inggris John Venn (1834-1923). Oleh karena itu, gambar seperti itu disebut Diagram Euler-Venn.

Operasi penyatuan dan perpotongan himpunan dapat digambarkan dengan diagram Euler – Venn sebagai berikut:

- bagian yang diarsir; - bagian yang diarsir.

Anda dapat menentukan penyatuan dan perpotongan dari kumpulan set apa pun, di mana adalah beberapa set indeks.

Definisi. Konsolidasi himpunan himpunan adalah himpunan yang terdiri dari semua itu dan hanya elemen-elemen itu, yang masing-masing dimiliki oleh setidaknya salah satu himpunan.

Definisi. Persimpangan himpunan himpunan adalah himpunan yang terdiri dari semua itu dan hanya elemen-elemen itu, yang masing-masing termasuk dalam salah satu himpunan.

Dalam kasus ketika himpunan indeks terbatas, misalnya, , maka untuk menyatakan persatuan dan perpotongan kumpulan himpunan dalam hal ini biasanya menggunakan notasi:

dan .

Misalnya, jika , , , kemudian , .

Konsep penyatuan dan perpotongan himpunan berulang kali ditemui dalam mata pelajaran matematika sekolah.

Contoh 1. Banyak M solusi sistem pertidaksamaan

adalah perpotongan himpunan solusi untuk setiap pertidaksamaan sistem ini :.

Contoh 2. Banyak M solusi sistem

adalah perpotongan himpunan solusi untuk setiap pertidaksamaan sistem ini. Himpunan solusi untuk persamaan pertama adalah himpunan titik-titik dari garis lurus, mis. ... Banyak . Himpunan terdiri dari satu elemen - titik persimpangan garis.

Contoh 3. Himpunan solusi persamaan

di mana , adalah gabungan dari himpunan solusi untuk masing-masing persamaan, yaitu

Definisi 3. Perbedaan set dan disebut himpunan, dilambangkan dengan, dan terdiri dari semua itu dan hanya elemen-elemen yang termasuk, tetapi bukan milik .– bagian yang diarsir; ... dengan operasi serikat, persimpangan dan komplemen. Struktur matematika yang dihasilkan disebut aljabar himpunan atau Aljabar Boolean dari himpunan(termasuk ahli matematika dan logika Irlandia George Boole (1816-1864)). Mari kita menyatakan himpunan semua himpunan bagian dari himpunan arbitrer dan menyebutnya boolean set.

Persamaan yang tercantum di bawah ini berlaku untuk himpunan bagian apa pun A, B, C set universal U. Oleh karena itu, mereka disebut hukum aljabar himpunan.

Teori

Ada dua pendekatan utama untuk konsep himpunan - naif dan aksiomatis teori himpunan.

Teori himpunan aksiomatik

Saat ini, himpunan didefinisikan sebagai model yang memenuhi aksioma ZFC (aksioma Zermelo - Fraenkel dengan aksioma pilihan). Dengan pendekatan ini, dalam beberapa teori matematika terdapat kumpulan objek yang bukan himpunan. Koleksi semacam itu disebut kelas (dari ordo yang berbeda).

Elemen himpunan

Benda-benda yang membentuk himpunan disebut elemen himpunan atau dengan poin dari himpunan. Set paling sering dilambangkan dengan huruf besar alfabet Latin, elemennya - dengan yang kecil. Jika a adalah anggota dari himpunan A, maka tulislah a A (a milik A). Jika a bukan anggota himpunan A, tulis a∉A (dan bukan anggota A).

Beberapa jenis set

• Himpunan terurut adalah himpunan di mana relasi pengurutan ditentukan.
• Satu set (khususnya, pasangan terurut). Tidak seperti hanya satu set, itu ditulis di dalam tanda kurung: ( x 1, x 2, x 3, ...), dan elemen dapat diulang.

Menurut hierarki:

Himpunan himpunan Subset Superset

Dengan batasan:

Setel operasi

literatur

• Stoll R.R. Set. Logika. Teori aksiomatik. - M.: Pendidikan, 1968 .-- 232 hlm.

Lihat juga

Yayasan Wikimedia. 2010.

Lihat apa itu "Set Elemen" di kamus lain:

elemen himpunan- - [L.G. Sumenko. Kamus Bahasa Inggris Rusia Teknologi Informasi. M .: GP TsNIIS, 2003.] elemen himpunan Sebuah objek dari alam apapun, yang bersama-sama dengan objek lain yang sejenis merupakan satu set. Seringkali, alih-alih istilah, elemen dalam ... ...

Elemen himpunan- sebuah objek dari alam apa pun, yang bersama-sama dengan objek serupa lainnya merupakan satu set. Seringkali, alih-alih istilah elemen dalam pengertian ini, mereka menggunakan "titik himpunan", "anggota himpunan", dll. ... ...

SET, dalam matematika, kumpulan objek tertentu. Objek-objek ini disebut anggota himpunan. Jumlah elemen bisa tak terbatas atau hingga, atau bahkan nol (jumlah elemen dalam himpunan kosong dilambangkan dengan 0). Setiap… … Kamus ensiklopedis ilmiah dan teknis

elemen- Istilah umum, yang, tergantung pada kondisi yang relevan, dapat dipahami sebagai permukaan, garis, titik. Catatan 1. Suatu elemen dapat berupa permukaan (bagian dari permukaan, bidang simetri beberapa permukaan), garis (profil ... Panduan penerjemah teknis

Bagian dari sesuatu. Salah satu kemungkinan etimologi dari kata ini adalah nama sejumlah konsonan dalam huruf Latin L, M, N (el em en). Elemen (filsafat) Elemen adalah aksesori wajib dari bendera, spanduk, dan standar. Elemen himpunan Dasar ... ... Wikipedia

Elemen- komponen utama (untuk penelitian ini, model) dari keseluruhan yang kompleks. Lihat Set Elemen, Elemen Sistem ... Kamus Ekonomi dan Matematika

Himpunan adalah salah satu objek kunci matematika, khususnya teori himpunan. “Dengan satu set yang kami maksud adalah penyatuan menjadi satu keseluruhan dari objek intuisi atau pemikiran kita yang benar-benar dapat dibedakan” (G. Kantor). Itu tidak lengkap ... ... Wikipedia

elemen- 02.01.14 elemen (tanda atau simbol karakter): Satu coretan atau spasi dalam simbol barcode atau sel poligonal atau lingkaran tunggal dalam simbol matriks, membentuk simbol tanda di ... ... Buku referensi kamus istilah dokumentasi normatif dan teknis

A; m. [dari lat. unsur elementum, bahan asal] 1. Bagian yang l.; komponen. Menguraikan keseluruhan menjadi elemen. Apa saja unsur-unsur kebudayaan? Sifat e. produksi. Unsur-unsur penyusunnya l. // Gerakan khas, satu ... ... kamus ensiklopedis