Dalam masyarakat modern, kemampuan untuk melakukan tindakan dengan persamaan yang mengandung variabel kuadrat dapat berguna di banyak bidang aktivitas dan digunakan secara luas dalam praktik dalam perkembangan ilmiah dan teknis. Ini dibuktikan dengan desain kapal laut dan sungai, pesawat terbang, dan rudal. Dengan bantuan kalkulasi semacam itu, lintasan pergerakan berbagai benda, termasuk benda luar angkasa, ditentukan. Contoh solusi persamaan kuadrat digunakan tidak hanya dalam peramalan ekonomi, dalam desain dan konstruksi bangunan, tetapi juga dalam keadaan sehari-hari yang paling biasa. Mereka mungkin dibutuhkan dalam perjalanan berkemah, di acara olahraga, di toko saat berbelanja, dan dalam situasi yang sangat umum lainnya.

Mari kita pecahkan ekspresi menjadi faktor penyusunnya

Derajat suatu persamaan ditentukan oleh nilai maksimum dari derajat variabel yang dikandung ekspresi tersebut. Jika sama dengan 2, maka persamaan tersebut disebut kuadrat.

Jika kita menggunakan bahasa rumus, maka ekspresi ini, bagaimanapun tampilannya, selalu dapat disederhanakan menjadi bentuk ketika sisi kiri ekspresi terdiri dari tiga suku. Diantaranya: ax 2 (yaitu, variabel yang dikuadratkan dengan koefisiennya), bx (tidak diketahui tanpa kuadrat dengan koefisiennya) dan c (komponen bebas, yaitu bilangan biasa). Semua ini di sisi kanan sama dengan 0. Dalam kasus ketika polinomial serupa kehilangan salah satu suku penyusunnya, dengan pengecualian sumbu 2, hal itu disebut persamaan kuadrat tak lengkap. Contoh dengan solusi dari masalah tersebut, nilai variabel yang mudah ditemukan, harus dipertimbangkan terlebih dahulu.

Jika ekspresi terlihat sedemikian rupa sehingga ada dua suku di sisi kanan ekspresi, lebih tepatnya ax 2 dan bx, paling mudah menemukan x dengan menempatkan variabel di luar tanda kurung. Sekarang persamaan kita akan terlihat seperti ini: x (ax + b). Lebih lanjut, menjadi jelas bahwa x \u003d 0, atau masalahnya dikurangi menjadi mencari variabel dari persamaan berikut: ax + b \u003d 0. Ini ditentukan oleh salah satu sifat perkalian. Aturannya adalah bahwa hasil perkalian dua faktor menghasilkan 0 hanya jika salah satunya sama dengan nol.

Contoh

x \u003d 0 atau 8x - 3 \u003d 0

Hasilnya, kita mendapatkan dua akar persamaan: 0 dan 0,375.

Persamaan semacam ini dapat menggambarkan pergerakan benda-benda di bawah aksi gravitasi, yang mulai bergerak dari titik tertentu yang diambil sebagai asalnya. Di sini notasi matematika mengambil bentuk berikut: y \u003d v 0 t + gt 2/2. Dengan mengganti nilai yang diperlukan, menyamakan sisi kanan dengan 0 dan menemukan kemungkinan yang tidak diketahui, Anda dapat mengetahui waktu yang berlalu dari saat benda naik hingga saat benda itu jatuh, serta banyak kuantitas lainnya. Tapi kita akan membicarakannya nanti.

Memfaktorkan Ekspresi

Aturan yang dijelaskan di atas memungkinkan untuk menyelesaikan masalah ini dalam kasus yang lebih kompleks. Mari pertimbangkan contoh-contoh dengan solusi persamaan kuadrat jenis ini.

X 2 - 33x + 200 \u003d 0

Trinomial persegi ini selesai. Pertama, mari ubah ekspresi dan faktorkan. Ada dua di antaranya: (x-8) dan (x-25) \u003d 0. Hasilnya, kita memiliki dua akar 8 dan 25.

Contoh dengan solusi persamaan kuadrat di kelas 9 memungkinkan metode ini untuk menemukan variabel dalam ekspresi tidak hanya dari urutan kedua, tetapi bahkan dari orde ketiga dan keempat.

Contoh: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 \u003d 0. Saat memfaktorkan ruas kanan menjadi faktor-faktor dengan sebuah variabel, ada tiga faktor yaitu, (x + 1), (x-3) dan (x + 3).

Hasilnya, menjadi jelas bahwa persamaan ini memiliki tiga akar: -3; -satu; 3.

Ekstraksi akar kuadrat

Kasus lain dari persamaan orde dua yang tidak lengkap adalah ekspresi yang direpresentasikan dalam bahasa huruf sedemikian rupa sehingga ruas kanan dibangun dari komponen ax 2 dan c. Di sini, untuk mendapatkan nilai variabel, suku bebas dipindahkan ke ruas kanan, dan akar kuadrat diekstraksi dari kedua ruas persamaan. Perlu dicatat bahwa dalam kasus ini, biasanya ada dua akar persamaan. Satu-satunya pengecualian adalah persamaan yang tidak mengandung suku c sama sekali, di mana variabelnya sama dengan nol, serta varian ekspresi jika ruas kanannya negatif. Dalam kasus terakhir, tidak ada solusi sama sekali, karena tindakan di atas tidak dapat dilakukan dengan root. Contoh solusi persamaan kuadrat jenis ini harus dipertimbangkan.

Dalam hal ini, akar persamaannya adalah angka -4 dan 4.

Perhitungan luas tanah

Perlunya perhitungan semacam ini muncul pada zaman kuno, karena perkembangan matematika dalam banyak hal pada zaman yang jauh itu disebabkan oleh kebutuhan untuk menentukan dengan sangat akurat luas dan keliling bidang tanah.

Contoh pemecahan persamaan kuadrat berdasarkan masalah semacam ini harus kita pertimbangkan.

Jadi, misalkan ada sebidang tanah persegi panjang yang panjangnya 16 meter dari lebarnya. Carilah panjang, lebar, dan keliling situs jika Anda mengetahui luasnya 612 m 2.

Turun ke bisnis, pertama mari kita buat persamaan yang diperlukan. Mari kita nyatakan dengan x lebar bagian, maka panjangnya adalah (x + 16). Dari apa yang telah dituliskan dapat disimpulkan bahwa luasnya ditentukan oleh ekspresi x (x + 16), yang menurut syarat soal kita adalah 612. Artinya x (x + 16) \u003d 612.

Penyelesaian persamaan kuadrat lengkap, dan ungkapan ini hanya itu, tidak dapat dilakukan dengan cara yang sama. Mengapa? Meskipun sisi kirinya masih mengandung dua faktor, hasil kali tidak sama dengan 0, jadi metode lain berlaku di sini.

Diskriminan

Pertama-tama, kami melakukan transformasi yang diperlukan penampilan dari ekspresi ini akan terlihat seperti ini: x 2 + 16x - 612 \u003d 0. Artinya kita mendapatkan ekspresi dalam bentuk yang sesuai dengan standar yang ditentukan sebelumnya, di mana a \u003d 1, b \u003d 16, c \u003d -612.

Ini bisa menjadi contoh menyelesaikan persamaan kuadrat melalui diskriminan. Di sini perhitungan yang diperlukan dibuat sesuai dengan skema: D \u003d b 2 - 4ac. Kuantitas tambahan ini tidak hanya memungkinkan untuk menemukan kuantitas yang diperlukan dalam persamaan orde kedua, tetapi juga menentukan jumlah opsi yang memungkinkan. Jika D\u003e 0, ada dua di antaranya; untuk D \u003d 0, ada satu root. Jika D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Tentang akar dan formulanya

Dalam kasus kita, diskriminannya adalah: 256 - 4 (-612) \u003d 2704. Ini menunjukkan bahwa masalah kita ada jawabannya. Jika Anda mengetahui k, penyelesaian persamaan kuadrat harus dilanjutkan menggunakan rumus di bawah ini. Ini memungkinkan Anda menghitung akarnya.

Ini berarti bahwa dalam kasus yang disajikan: x 1 \u003d 18, x 2 \u003d -34. Pilihan kedua dalam dilema ini tidak dapat menjadi solusi, karena dimensi bidang tanah tidak dapat diukur dalam nilai negatif, yang berarti x (yaitu lebar bidang tanah) adalah 18 m. Dari sini kami menghitung panjang: 18 + 16 \u003d 34, dan keliling 2 (34+) 18) \u003d 104 (m 2).

Contoh dan tugas

Kami terus mempelajari persamaan kuadrat. Contoh dan solusi terperinci untuk beberapa di antaranya akan diberikan di bawah ini.

1) 15x 2 + 20x + 5 \u003d 12x 2 + 27x + 1

Mari kita pindahkan semuanya ke sisi kiri persamaan, buat transformasi, yaitu, kita mendapatkan bentuk persamaan, yang biasanya disebut standar, dan menyamakannya dengan nol.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 \u003d 0

Menambahkan yang serupa, kita mendefinisikan diskriminan: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Jadi persamaan kita akan memiliki dua akar. Mari kita hitung berdasarkan rumus di atas, yang artinya yang pertama adalah 4/3, dan yang kedua 1.

2) Sekarang kami akan mengungkapkan teka-teki dari jenis yang berbeda.

Mari kita cari tahu apakah ada akar sama sekali di sini x 2 - 4x + 5 \u003d 1? Untuk mendapatkan jawaban lengkap, mari kita bawa polinom ke bentuk familiar yang sesuai dan menghitung diskriminan. Dalam contoh ini, solusi persamaan kuadrat tidak diperlukan, karena esensi masalahnya sama sekali tidak ada di sini. Dalam hal ini, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, yang artinya memang tidak ada akar.

Teorema Vieta

Lebih mudah untuk menyelesaikan persamaan kuadrat melalui rumus dan diskriminan di atas, ketika akar kuadrat diambil dari nilai yang terakhir. Tapi ini tidak selalu terjadi. Namun, ada banyak cara untuk mendapatkan nilai variabel dalam kasus ini. Contoh: menyelesaikan persamaan kuadrat dengan teorema Vieta. Dia dinamai seorang pria yang tinggal di Prancis abad ke-16 dan membuat karir yang cemerlang berkat bakat matematika dan koneksi di pengadilan. Potretnya bisa dilihat di artikel.

Pola yang diperhatikan oleh orang Prancis yang terkenal itu adalah sebagai berikut. Dia membuktikan bahwa akar persamaan dalam penjumlahan tersebut secara numerik sama dengan -p \u003d b / a, dan hasil kali mereka sesuai dengan q \u003d c / a.

Sekarang mari kita lihat tugas tertentu.

3x 2 + 21x - 54 \u003d 0

Untuk kesederhanaan, kami mengubah ekspresi:

x 2 + 7x - 18 \u003d 0

Kita akan menggunakan teorema Vieta, ini akan memberi kita hal berikut: jumlah akarnya adalah -7, dan hasil kali -18. Dari sini kita mendapatkan bahwa akar persamaannya adalah angka -9 dan 2. Setelah melakukan pemeriksaan, kita akan memastikan bahwa nilai variabel ini benar-benar sesuai dengan ekspresi tersebut.

Grafik dan persamaan parabola

Konsep fungsi kuadrat dan persamaan kuadrat terkait erat. Contohnya sudah diberikan sebelumnya. Sekarang mari kita lihat lebih dekat beberapa teka-teki matematika. Persamaan apa pun dari tipe yang dijelaskan dapat divisualisasikan. Ketergantungan seperti itu, yang digambar dalam bentuk grafik, disebut parabola. Berbagai jenisnya ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Setiap parabola memiliki puncak, yaitu titik darimana cabang-cabangnya muncul. Jika a\u003e 0, mereka pergi tinggi hingga tak terbatas, dan ketika a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Representasi visual dari fungsi membantu menyelesaikan persamaan apa pun, termasuk persamaan kuadrat. Metode ini disebut grafis. Dan nilai variabel x adalah koordinat absis pada titik-titik di mana garis grafik berpotongan dengan 0x. Koordinat puncak dapat ditemukan dengan rumus yang baru saja diberikan x 0 \u003d -b / 2a. Dan, dengan mengganti nilai yang dihasilkan ke dalam persamaan asli dari fungsi tersebut, Anda dapat menemukan y 0, yaitu koordinat kedua dari puncak parabola, yang termasuk dalam sumbu ordinat.

Perpotongan cabang parabola dengan sumbu absis

Ada banyak contoh dalam menyelesaikan persamaan kuadrat, tetapi ada juga pola umum. Mari kita pertimbangkan. Jelas bahwa perpotongan grafik dengan sumbu 0x untuk a\u003e 0 hanya mungkin jika y 0 mengambil nilai negatif. Dan untuk a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Jika tidak, D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Akarnya juga dapat ditentukan dari grafik parabola. Kebalikannya juga benar. Artinya, jika tidak mudah mendapatkan citra visual dari fungsi kuadrat, Anda dapat menyamakan ruas kanan ekspresi dengan 0 dan menyelesaikan persamaan yang dihasilkan. Dan mengetahui titik-titik perpotongan dengan sumbu 0x, akan lebih mudah untuk membuat grafik.

Dari sejarah

Dengan bantuan persamaan yang mengandung variabel kuadrat, di masa lalu mereka tidak hanya melakukan perhitungan matematis dan menentukan luas bidang bentuk geometris. Orang dahulu membutuhkan kalkulasi semacam itu untuk penemuan-penemuan besar di bidang fisika dan astronomi, serta untuk membuat ramalan astrologi.

Seperti yang diasumsikan oleh ilmuwan modern, penduduk Babilonia termasuk yang pertama memecahkan persamaan kuadrat. Itu terjadi empat abad sebelum munculnya era kita. Tentu saja, perhitungan mereka pada dasarnya berbeda dari yang diterima saat ini dan ternyata jauh lebih primitif. Misalnya, ahli matematika Mesopotamia tidak tahu tentang keberadaan bilangan negatif. Mereka juga tidak terbiasa dengan seluk-beluk lain yang diketahui anak sekolah mana pun di zaman kita.

Bahkan mungkin lebih awal dari para ilmuwan Babilonia, orang bijak dari India Baudhayama mengambil solusi persamaan kuadrat. Itu terjadi sekitar delapan abad sebelum munculnya era Kristus. Benar, persamaan orde kedua, metode pemecahan yang dia berikan, adalah yang paling sederhana. Selain dia, matematikawan Cina juga tertarik dengan pertanyaan serupa di masa lalu. Di Eropa, persamaan kuadrat mulai diselesaikan hanya pada awal abad ke-13, tetapi kemudian digunakan dalam karya mereka oleh ilmuwan besar seperti Newton, Descartes, dan banyak lainnya.

Tidak lengkap persamaan kuadrat berbeda dari persamaan klasik (lengkap) karena faktor atau suku bebasnya sama dengan nol. Grafik dari fungsi tersebut adalah parabola. Tergantung pada penampilan umumnya, mereka dibagi menjadi 3 kelompok. Prinsip untuk menyelesaikan semua jenis persamaan adalah sama.

Tidak ada yang sulit dalam menentukan jenis polinomial tidak lengkap. Perbedaan utama yang paling baik adalah dengan menggunakan contoh ilustrasi:

1. Jika b \u003d 0, maka persamaannya adalah ax 2 + c \u003d 0.
2. Jika c \u003d 0, maka ekspresi ax 2 + bx \u003d 0 harus diselesaikan.
3. Jika b \u003d 0 dan c \u003d 0, maka polinomial tersebut menjadi persamaan berjenis ax 2 \u003d 0.

Kasus terakhir lebih merupakan kemungkinan teoritis dan tidak pernah terjadi dalam tugas pengujian pengetahuan, karena satu-satunya nilai yang valid dari variabel x dalam ekspresi adalah nol. Di masa depan, metode dan contoh penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap 1) dan 2) akan dipertimbangkan.

Algoritme umum untuk menemukan variabel dan contoh dengan solusi

Terlepas dari jenis persamaannya, algoritma solusi turun ke langkah-langkah berikut:

1. Kurangi ekspresi menjadi bentuk yang sesuai untuk mencari akar.
2. Lakukan penghitungan.
3. Catat jawaban Anda.

Cara termudah untuk menyelesaikan persamaan tak lengkap adalah dengan memfaktorkan ruas kiri dan menyisakan nol di kanan. Jadi, rumus persamaan kuadrat tidak lengkap untuk mencari akar dikurangi untuk menghitung nilai x untuk masing-masing faktor.

Anda hanya dapat mempelajari cara menyelesaikannya dalam praktik, jadi mari pertimbangkan contoh spesifik untuk mencari akar dari persamaan yang tidak lengkap:

Seperti yang Anda lihat, dalam kasus ini b \u003d 0. Mari kita faktorkan sisi kiri dan dapatkan persamaannya:

4 (x - 0,5) ⋅ (x + 0,5) \u003d 0.

Jelas, hasil perkaliannya nol jika setidaknya salah satu faktornya nol. Nilai variabel x1 \u003d 0,5 dan (atau) x2 \u003d -0,5 memenuhi persyaratan ini.

Untuk mengatasi masalah memfaktorkan trinomial kuadrat menjadi faktor dengan mudah dan cepat, Anda harus mengingat rumus berikut:

Jika tidak ada istilah bebas dalam ekspresi tersebut, tugasnya akan sangat disederhanakan. Cukup mencari dan mengeluarkan penyebut yang sama. Untuk kejelasan, perhatikan contoh cara menyelesaikan persamaan kuadrat tak lengkap dengan bentuk ax2 + bx \u003d 0.

Mari kita keluarkan variabel x dari tanda kurung dan dapatkan ekspresi berikut:

x ⋅ (x + 3) \u003d 0.

Dipandu oleh logika, kita sampai pada kesimpulan bahwa x1 \u003d 0, dan x2 \u003d -3.

Solusi tradisional dan persamaan kuadrat tidak lengkap

Apa yang akan terjadi jika Anda menerapkan rumus diskriminan dan mencoba mencari akar dari banyak polinomial, dengan koefisien sama dengan nol? Mari kita ambil contoh kumpulan tugas tipikal untuk ujian matematika tahun 2017, selesaikan dengan menggunakan rumus standar dan metode faktorisasi.

7x 2 - 3x \u003d 0.

Mari kita hitung nilai diskriminan: D \u003d (-3) 2 - 4 ⋅ (-7) ⋅ 0 \u003d 9. Ternyata polinomial tersebut memiliki dua akar:

Sekarang, mari kita selesaikan persamaan tersebut dengan memfaktorkan dan membandingkan hasilnya.

X ⋅ (7x + 3) \u003d 0,

2) 7x + 3 \u003d 0,
7x \u003d -3,
x \u003d -.

Seperti yang Anda lihat, kedua metode memberikan hasil yang sama, tetapi menyelesaikan persamaan dengan metode kedua ternyata jauh lebih mudah dan lebih cepat.

Teorema Vieta

Dan apa yang harus dilakukan dengan teorema Vieta yang tercinta? Bisakah metode ini digunakan dengan trinomial yang tidak lengkap? Mari kita coba memahami aspek-aspek pengurangan persamaan tak lengkap ke bentuk klasik ax2 + bx + c \u003d 0.

Faktanya, teorema Vieta dapat diterapkan dalam kasus ini. Anda hanya perlu membawa ekspresi ke bentuk umum, mengganti anggota yang hilang dengan nol.

Misalnya, dengan b \u003d 0 dan a \u003d 1, untuk menghilangkan kemungkinan terjadinya kebingungan, tugas tersebut harus dituliskan dalam bentuk: ax2 + 0 + c \u003d 0. Maka rasio jumlah dan hasil kali akar dan faktor polinom dapat dinyatakan sebagai berikut:

Perhitungan teoritis membantu untuk mengenal esensi masalah, dan selalu membutuhkan keterampilan berlatih dalam memecahkan masalah tertentu. Mari kita kembali ke buku referensi tentang tugas-tugas umum untuk ujian dan temukan contoh yang cocok:

Mari kita tulis ekspresi dalam bentuk yang sesuai untuk menerapkan teorema Vieta:

x 2 + 0 - 16 \u003d 0.

Langkah selanjutnya adalah membuat sistem kondisi:

Jelasnya, akar polinomial kuadrat adalah x 1 \u003d 4 dan x 2 \u003d -4.

Sekarang, mari berlatih membuat persamaan menjadi bentuk umum. Ambil contoh berikut: 1/4 × x 2 - 1 \u003d 0

Untuk menerapkan teorema Vieta ke sebuah ekspresi, pecahan harus dihilangkan. Kalikan ruas kiri dan kanan dengan 4, dan lihat hasilnya: x2– 4 \u003d 0. Persamaan yang dihasilkan siap diselesaikan dengan teorema Vieta, tetapi jauh lebih mudah dan cepat untuk mendapatkan jawabannya hanya dengan memindahkan c \u003d 4 ke ruas kanan persamaan: x2 \u003d 4.

Kesimpulannya, harus dikatakan bahwa cara terbaik untuk menyelesaikan persamaan tidak lengkap adalah faktorisasi, yang merupakan metode paling sederhana dan tercepat. Jika Anda mengalami kesulitan dalam proses menemukan akar, Anda dapat beralih ke metode tradisional untuk menemukan akar melalui diskriminan.

Persamaan kuadrat adalah persamaan dalam bentuk a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, di mana a, b, c adalah bilangan real (nyata) sembarang, dan x adalah variabel. Apalagi angka a tidak sama dengan 0.

Angka a, b, c disebut koefisien. Angka a disebut koefisien terdepan, angka b adalah koefisien pada x, dan angka c disebut sebagai suku bebas. Ada nama lain dalam beberapa literatur. Bilangan a disebut faktor pertama, dan bilangan b disebut faktor kedua.

Klasifikasi persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat memiliki klasifikasinya sendiri.

Dengan ketersediaan peluang:

1. Selesai

2. Tidak lengkap

Dengan nilai koefisien derajat tertinggi yang tidak diketahui (nilai koefisien terdepan):

1. Diberikan

2. Tidak dikurangi

Persamaan kuadrat disebut selesai jika ketiga koefisien ada di dalamnya dan tidak nol. Tampilan umum dari persamaan kuadrat penuh: a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0;

Persamaan kuadrat disebut tidak lengkap Jika dalam persamaan a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0 salah satu koefisien b atau c sama dengan nol (b \u003d 0 atau c \u003d 0), namun persamaan kuadrat yang tidak lengkap akan menjadi persamaan dengan koefisien b dan koefisien c secara bersamaan nol (baik b \u003d 0 dan c \u003d 0).

Perlu dicatat bahwa tidak ada yang dikatakan di sini tentang koefisien terkemuka, karena menurut definisi persamaan kuadrat pasti berbeda dari nol.

diberikan jika koefisien utamanya sama dengan satu (a \u003d 1). Tampilan umum persamaan kuadrat tereduksi: x ^ 2 + d * x + e \u003d 0.

Persamaan kuadrat disebut tidak direduksi, jika koefisien utama dalam persamaan tersebut bukan nol. Tampilan umum persamaan kuadrat tak tereduksi: a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0.

Perlu dicatat bahwa persamaan kuadrat tak tereduksi dapat direduksi menjadi persamaan tereduksi. Untuk melakukannya, Anda harus membagi koefisien dari persamaan kuadrat dengan koefisien utama.

Contoh persamaan kuadrat

Mari pertimbangkan sebuah contoh: kami memiliki persamaan 2 * x ^ 2-6 * x + 7 \u003d 0;

Kami mengubahnya menjadi persamaan tereduksi. Koefisien utama adalah 2. Bagilah koefisien persamaan kita dengan koefisien tersebut dan tuliskan jawabannya.

x ^ 2 - 3 * x + 3,5 \u003d 0;

Seperti yang Anda perhatikan, di sisi kanan persamaan kuadrat ada polinomial derajat kedua a * x ^ 2 + b * x + c. Ini juga disebut trinomial persegi.

Kami mengingatkan Anda bahwa persamaan kuadrat lengkap adalah persamaan bentuk:

Solusi untuk menyelesaikan persamaan kuadrat sedikit lebih sulit (hanya sedikit) daripada yang diberikan.

Ingat, persamaan kuadrat apa pun dapat diselesaikan dengan menggunakan diskriminan!

Bahkan belum lengkap.

Metode lainnya akan membantu Anda melakukan ini lebih cepat, tetapi jika Anda memiliki masalah dengan persamaan kuadrat, pertama-tama pelajari solusi menggunakan diskriminan.

1. Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan diskriminan.

Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan cara ini sangat sederhana, yang utama adalah mengingat urutan tindakan dan beberapa rumus.

Jika, maka persamaan tersebut memiliki 2 akar. Anda perlu memberi perhatian khusus pada langkah 2.

Diskriminan D memberi tahu kita jumlah akar dalam persamaan.

• Jika, maka rumus pada langkah akan dikurangi menjadi. Jadi, persamaan tersebut akan memiliki seluruh akar.
• Jika, maka kita tidak dapat mengekstrak root dari diskriminan pada langkah tersebut. Ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar.

Mari beralih ke makna geometris dari persamaan kuadrat.

Grafik fungsinya adalah parabola:

Mari kita kembali ke persamaan kita dan melihat beberapa contoh.

Contoh 9

Pecahkan persamaannya

Langkah 1 melewatkan.

Langkah 2.

Kami menemukan diskriminan:

Jadi persamaannya memiliki dua akar.

LANGKAH 3.

Menjawab:

Contoh 10

Pecahkan persamaannya

Oleh karena itu, persamaan tersebut disajikan dalam bentuk standar Langkah 1 melewatkan.

Langkah 2.

Kami menemukan diskriminan:

Jadi persamaannya memiliki satu akar.

Menjawab:

Contoh 11

Pecahkan persamaannya

Oleh karena itu, persamaan tersebut disajikan dalam bentuk standar Langkah 1 melewatkan.

Langkah 2.

Kami menemukan diskriminan:

Oleh karena itu, kami tidak dapat mengekstrak akar dari diskriminan. Tidak ada akar persamaan.

Sekarang kita tahu bagaimana menuliskan tanggapan seperti itu dengan benar.

Menjawab:Tidak ada akar

2. Memecahkan persamaan kuadrat menggunakan teorema Vieta

Jika Anda ingat, ada jenis persamaan yang disebut reduksi (jika koefisien a sama):

Persamaan semacam itu sangat mudah dipecahkan menggunakan teorema Vieta:

Jumlah akar diberikan persamaan kuadratnya adalah, dan hasil kali akarnya adalah.

Anda hanya perlu memilih sepasang angka, yang hasil kalinya sama dengan suku bebas persamaan, dan jumlahnya adalah koefisien kedua, diambil dengan tanda sebaliknya.

Contoh 12

Pecahkan persamaannya

Persamaan ini cocok untuk diselesaikan menggunakan teorema Vieta, karena ...

Jumlah akar persamaan adalah sama, yaitu. kami mendapatkan persamaan pertama:

Dan produknya sama dengan:

Mari buat dan selesaikan sistem:

• dan. Jumlahnya sama;
• dan. Jumlahnya sama;
• dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan solusi dari sistem:

Menjawab: ; .

Contoh 13

Pecahkan persamaannya

Menjawab:

Contoh 14

Pecahkan persamaannya

Persamaannya berkurang, yang artinya:

Menjawab:

PERSAMAAN KUADRAT. TINGKAT TENGAH

Apa itu Persamaan Kuadrat?

Dengan kata lain, persamaan kuadrat adalah persamaan bentuk, dimana tidak diketahui, ada beberapa bilangan, dan.

Nomor tersebut disebut senior atau peluang pertama persamaan kuadrat, - peluang kedua, Sebuah - anggota gratis.

Karena jika, persamaan tersebut segera menjadi linier, karena akan hilang.

Apalagi dan bisa sama dengan nol. Di kursi ini, persamaan itu disebut tidak lengkap.

Jika semua suku sudah ada, yaitu persamaan - lengkap.

Metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tidak lengkap

Untuk memulainya, mari kita analisis metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tak lengkap - metode ini lebih sederhana.

Jenis persamaan berikut dapat dibedakan:

I., dalam persamaan ini koefisien dan titik potongnya sama.

II. , dalam persamaan ini koefisiennya adalah.

AKU AKU AKU. , dalam persamaan ini istilah bebasnya adalah.

Sekarang mari kita lihat solusi untuk masing-masing subtipe ini.

Jelas, persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar:

Angka yang dikuadratkan tidak boleh negatif, karena jika Anda mengalikan dua angka negatif atau dua angka positif, hasilnya akan selalu berupa angka positif. Karena itu:

jika, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi;

jika, kita memiliki dua akar

Rumus ini tidak perlu dihafal. Hal utama yang harus diingat adalah bahwa itu tidak boleh kurang.

Contoh pemecahan persamaan kuadrat

Contoh 15

Menjawab:

Jangan pernah melupakan akar negatif!

Contoh 16

Kuadrat sebuah angka tidak boleh negatif, yang berarti persamaan tersebut

tidak ada akar.

Untuk mencatat secara singkat bahwa masalah tidak memiliki solusi, kami menggunakan ikon set kosong.

Menjawab:

Contoh 17

Jadi, persamaan ini memiliki dua akar: dan.

Menjawab:

Tarik faktor persekutuan dari tanda kurung:

Produknya sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktornya sama dengan nol. Artinya persamaan tersebut memiliki solusi jika:

Jadi, persamaan kuadrat ini memiliki dua akar: dan.

Contoh:

Pecahkan persamaannya.

Keputusan:

Faktorkan ruas kiri persamaan dan temukan akarnya:

Menjawab:

Metode untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap

1. Diskriminan

Memecahkan persamaan kuadrat dengan cara ini mudah, yang utama adalah mengingat urutan tindakan dan beberapa rumus. Ingat, persamaan kuadrat apa pun dapat diselesaikan menggunakan diskriminan! Bahkan belum lengkap.

Pernahkah Anda memperhatikan akar diskriminan dalam rumus akar?

Tetapi diskriminan bisa menjadi negatif.

Apa yang harus dilakukan?

Anda perlu memberi perhatian khusus pada langkah 2. Diskriminan menunjukkan kepada kita jumlah akar persamaan.

• Jika, maka persamaan tersebut memiliki akar:
• Jika, maka persamaan tersebut memiliki akar yang sama, tetapi kenyataannya, satu akar:

  Akar seperti itu disebut akar ganda.

• Jika, maka akar diskriminan tidak diekstraksi. Ini menunjukkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar.

Mengapa jumlah akar berbeda?

Mari beralih ke makna geometris dari persamaan kuadrat. Grafik fungsinya adalah parabola:

Dalam kasus khusus, yang merupakan persamaan kuadrat ,.

Dan ini berarti bahwa akar dari persamaan kuadrat adalah titik-titik perpotongan dengan sumbu absis (sumbu).

Parabola tidak boleh memotong sumbu sama sekali, atau memotongnya di salah satu sumbu (jika puncak parabola terletak pada sumbu) atau dua titik.

Selain itu, koefisien bertanggung jawab atas arah cabang parabola. Jika, maka cabang parabola mengarah ke atas, dan jika - maka ke bawah.

4 contoh pemecahan persamaan kuadrat

Contoh 18

Menjawab:

Contoh 19

Menjawab:.

Contoh 20

Menjawab:

Contoh 21

Jadi tidak ada solusi.

Menjawab:.

2. Teorema Vieta

Teorema Vieta sangat mudah digunakan.

Anda hanya perlu menjemput pasangan angka seperti itu, hasil kali sama dengan suku bebas persamaan, dan jumlahnya adalah koefisien kedua, diambil dengan tanda sebaliknya.

Penting untuk diingat bahwa teorema Vieta hanya dapat diterapkan dalam persamaan kuadrat tereduksi ().

Mari kita lihat beberapa contoh:

Contoh 22

Pecahkan persamaannya.

Keputusan:

Persamaan ini cocok untuk diselesaikan menggunakan teorema Vieta, karena ... Koefisien lainnya :; ...

Jumlah dari akar persamaan tersebut adalah:

Dan produknya sama dengan:

Mari kita ambil pasangan angka seperti itu, yang hasil kalinya sama, dan periksa apakah jumlahnya sama:

• dan. Jumlahnya sama;
• dan. Jumlahnya sama;
• dan. Jumlahnya sama.

dan merupakan solusi dari sistem:

Jadi, dan merupakan akar dari persamaan kita.

Menjawab:; ...

Contoh 23

Keputusan:

Mari kita ambil pasangan angka yang memberikan hasil kali ini, dan kemudian periksa apakah jumlahnya sama:

dan: tambahkan.

dan: berikan jumlahnya. Untuk mendapatkannya, Anda hanya perlu mengubah tanda-tanda akar yang dituduhkan: dan, bagaimanapun, produknya.

Menjawab:

Contoh 24

Keputusan:

Suku bebas dari persamaan tersebut adalah negatif, yang berarti hasil kali akarnya adalah bilangan negatif. Ini hanya mungkin jika salah satu akarnya negatif dan yang lainnya positif. Oleh karena itu, jumlah akarnya adalah perbedaan modul mereka.

Mari kita pilih pasangan angka yang memberikan hasil perkalian, dan perbedaannya sama dengan:

dan: perbedaan mereka sama - tidak cocok;

dan: - tidak cocok;

dan: - tidak cocok;

dan: - cocok. Hanya tetap ingat bahwa salah satu akarnya negatif. Karena jumlahnya harus sama, maka akar dari yang terkecil dalam nilai absolut harus negatif :. Kami memeriksa:

Menjawab:

Contoh 25

Pecahkan persamaannya.

Keputusan:

Persamaannya berkurang, yang artinya:

Suku bebasnya negatif, dan karenanya hasil perkalian dari akarnya negatif. Dan ini hanya mungkin jika satu akar persamaan adalah negatif dan yang lainnya positif.

Kami akan memilih pasangan angka seperti itu, yang hasilnya sama, dan kemudian menentukan akar mana yang harus memiliki tanda negatif:

Jelas, hanya akarnya dan cocok untuk kondisi pertama:

Menjawab:

Contoh 26

Pecahkan persamaannya.

Keputusan:

Persamaannya berkurang, yang artinya:

Jumlah akar negatif, yang berarti bahwa setidaknya satu akar negatif. Tetapi karena hasil kalinya positif, maka kedua akar bertanda minus.

Mari kita pilih pasangan angka seperti itu, yang hasil kalinya sama dengan:

Jelas, akarnya adalah angka dan.

Menjawab:

Setuju, sangat mudah untuk menemukan akar secara lisan, daripada menghitung diskriminan yang menjijikkan ini.

Cobalah untuk menggunakan teorema Vieta sesering mungkin!

Tetapi teorema Vieta diperlukan untuk memfasilitasi dan mempercepat penemuan akar.

Untuk menggunakannya secara menguntungkan, Anda harus membawa tindakan ke otomatisme. Dan untuk ini, tentukan lima contoh lagi.

Tapi jangan curang: Anda tidak bisa menggunakan diskriminan! Hanya teorema Vieta!

5 contoh belajar mandiri pada teorema Vieta

Contoh 27

Tugas 1. ((x) ^ (2)) - 8x + 12 \u003d 0

Dengan teorema Vieta:

Seperti biasa, kami memulai seleksi dengan sepotong:

Tidak cocok karena jumlahnya;

: jumlah yang Anda butuhkan.

Menjawab:; ...

Contoh 28

Tugas 2.

Dan sekali lagi, teorema Vieta favorit kami: jumlahnya harus berhasil, tetapi hasil kalinya sama.

Tetapi karena seharusnya tidak, tetapi, kami mengubah tanda-tanda akar: dan (secara total).

Menjawab:; ...

Contoh 29

Tugas 3.

Hmm ... Dimana itu?

Semua persyaratan harus ditransfer menjadi satu bagian:

Jumlah akar sama dengan hasil kali.

Jadi berhentilah! Persamaan tidak diberikan.

Tetapi teorema Vieta hanya dapat diterapkan pada persamaan di atas.

Jadi pertama-tama Anda perlu membawa persamaannya.

Jika Anda tidak bisa membawanya, hentikan usaha ini dan selesaikan dengan cara lain (misalnya, melalui diskriminan).

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa membawa persamaan kuadrat berarti membuat koefisien utama sama dengan:

Maka jumlah dari akarnya sama, dan produknya.

Sangat mudah untuk mengambilnya di sini: ini adalah bilangan prima (maaf untuk tautologi).

Menjawab:; ...

Contoh 30

Tugas 4.

Istilah bebasnya negatif.

Apa istimewanya itu?

Dan fakta bahwa akarnya akan memiliki tanda yang berbeda.

Dan sekarang, selama pemilihan, kami memeriksa bukan jumlah akar, tetapi perbedaan modul mereka: perbedaan ini sama, tetapi produknya.

Jadi, akarnya sama dan, tetapi salah satunya dengan minus.

Teorema Vieta memberi tahu kita bahwa jumlah akar sama dengan koefisien kedua dengan tanda yang berlawanan, yaitu.

Artinya, akar yang lebih kecil akan memiliki minus: dan, sejak.

Menjawab:; ...

Contoh 31

Tugas 5.

Apa hal pertama yang harus dilakukan?

Benar, berikan persamaannya:

Sekali lagi: kami memilih faktor angka, dan perbedaannya harus:

Akarnya sama dan, tetapi salah satunya dengan minus. Yang mana? Jumlahnya harus sama, yang berarti dengan minus akan ada akar yang lebih besar.

Menjawab:; ...

Meringkaskan

1. Teorema Vieta hanya digunakan dalam persamaan kuadrat yang diberikan.
2. Dengan menggunakan teorema Vieta, Anda dapat menemukan akarnya melalui seleksi, secara lisan.
3. Jika persamaan tidak diberikan atau tidak ada pasangan pengali suku bebas yang sesuai, maka tidak ada akar lengkap, dan Anda perlu menyelesaikannya dengan cara lain (misalnya, melalui diskriminan).

3. Metode pemilihan kotak lengkap

Jika semua suku yang mengandung yang tidak diketahui direpresentasikan dalam bentuk suku-suku dari rumus perkalian yang disingkat - kuadrat dari jumlah atau perbedaan - maka setelah mengubah variabel, persamaan tersebut dapat direpresentasikan sebagai persamaan kuadrat tidak lengkap dari jenis tersebut.

Sebagai contoh:

Contoh 32

Pecahkan persamaan :.

Keputusan:

Menjawab:

Contoh 33

Pecahkan persamaan :.

Keputusan:

Menjawab:

Secara umum transformasi akan terlihat seperti ini:

Ini menyiratkan:.

Apa tidak terlihat seperti apapun?

Ini diskriminan! Benar, kami mendapat formula diskriminan.

PERSAMAAN KUADRATIK. SINGKAT TENTANG UTAMA

Persamaan kuadratadalah persamaan bentuk, di mana tidak diketahui, adalah koefisien dari persamaan kuadrat, adalah suku bebas.

Persamaan kuadrat penuh - persamaan di mana koefisien tidak sama dengan nol.

Persamaan kuadrat yang dikurangi - persamaan di mana koefisiennya, yaitu :.

Persamaan kuadrat tidak lengkap - persamaan di mana koefisien dan atau suku bebas c sama dengan nol:

• jika koefisiennya maka persamaannya berbentuk :,
• jika suku bebasnya, persamaannya berbentuk :,
• jika dan, persamaannya berbentuk :.

1. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat tak lengkap

1.1. Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk, dimana:

1) Mari kita ungkapkan yang tidak diketahui :,

2) Periksa tanda ekspresi:

• jika, maka persamaan tersebut tidak memiliki solusi,
• jika, maka persamaan tersebut memiliki dua akar.

1.2. Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk, dimana:

1) Tarik faktor persekutuan dari tanda kurung :,

2) Hasil kali sama dengan nol jika setidaknya salah satu faktor sama dengan nol. Oleh karena itu, persamaan tersebut memiliki dua akar:

1.3. Persamaan kuadrat tidak lengkap dari bentuk, dimana:

Persamaan ini selalu hanya memiliki satu akar :.

2. Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat lengkap bentuk di mana

2.1. Solusi diskriminan

1) Mari kita kurangi persamaan tersebut ke bentuk standar :,

2) Hitung diskriminan dengan rumus :, yang menunjukkan jumlah akar persamaan:

3) Temukan akar persamaan:

• jika, maka persamaan tersebut memiliki akar, yang ditemukan dengan rumus:
• jika, maka persamaan tersebut memiliki akar, yang ditemukan dengan rumus:
• jika, maka persamaan tersebut tidak memiliki akar.

2.2. Solusi menggunakan teorema Vieta

Jumlah akar dari persamaan kuadrat tereduksi (persamaan bentuk, di mana) adalah sama, dan hasil kali akar adalah sama, yaitu , Sebuah.

2.3. Solusi persegi lengkap

Melanjutkan topik "Memecahkan Persamaan", materi artikel ini akan memperkenalkan Anda pada persamaan kuadrat.

Mari kita pertimbangkan semuanya secara detail: esensi dan penulisan persamaan kuadrat, kami akan menetapkan istilah terkait, kami akan menganalisis skema untuk menyelesaikan persamaan tidak lengkap dan lengkap, kami akan berkenalan dengan rumus akar dan diskriminan, kami akan membangun hubungan antara akar dan koefisien, dan tentu saja kami akan memberikan solusi visual dari contoh praktis.

Persamaan kuadrat, jenisnya

Definisi 1

Persamaan kuadrat Apakah persamaan ditulis sebagai a x 2 + b x + c \u003d 0dimana x - variabel, a, b dan c - beberapa angka, sementara sebuahbukan nol.

Seringkali, persamaan kuadrat juga disebut persamaan derajat kedua, karena pada dasarnya persamaan kuadrat adalah persamaan aljabar derajat kedua.

Berikut adalah contoh untuk mengilustrasikan definisi yang diberikan: 9 · x 2 + 16 · x + 2 \u003d 0; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 \u003d 0, dll. Apakah persamaan kuadrat.

Definisi 2

Angka a, b dan c Apakah koefisien dari persamaan kuadrat a x 2 + b x + c \u003d 0, sedangkan koefisien Sebuah disebut koefisien pertama, atau senior, atau pada x 2, b - koefisien kedua, atau koefisien pada x, Sebuah c disebut anggota gratis.

Misalnya, dalam persamaan kuadrat 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0 koefisien senior adalah 6, koefisien kedua adalah − 2 , dan istilah gratisnya adalah − 11 ... Mari kita perhatikan fakta bahwa ketika koefisien bdan / atau c negatif, maka digunakan notasi singkat dari bentuk tersebut 6 x 2 - 2 x - 11 \u003d 0, tapi tidak 6 x 2 + (- 2) x + (- 11) \u003d 0.

Mari kita juga memperjelas aspek ini: jika koefisien Sebuah dan / atau b adalah sama 1 atau − 1 , maka mereka mungkin tidak mengambil partisipasi eksplisit dalam pencatatan persamaan kuadrat, yang dijelaskan oleh kekhasan pencatatan koefisien numerik yang ditunjukkan. Misalnya, dalam persamaan kuadrat y 2 - y + 7 \u003d 0 koefisien tertinggi adalah 1, dan koefisien kedua adalah − 1 .

Persamaan kuadrat tereduksi dan tak tereduksi

Berdasarkan nilai koefisien pertama, persamaan kuadrat dibagi menjadi persamaan tereduksi dan tidak tereduksi.

Definisi 3

Persamaan kuadrat yang dikurangi Adalah persamaan kuadrat, di mana koefisien utamanya adalah 1. Untuk nilai koefisien terdepan lainnya, persamaan kuadrat tidak dikurangi.

Mari kita berikan contoh: persamaan kuadrat x 2 - 4 x + 3 \u003d 0, x 2 - x - 4 5 \u003d 0 dikurangi, yang masing-masing koefisien utamanya adalah 1.

9 x 2 - x - 2 \u003d 0 - persamaan kuadrat tak tereduksi, dengan koefisien pertama berbeda 1 .

Persamaan kuadrat tak tereduksi apa pun dapat diubah menjadi persamaan tereduksi dengan membagi kedua bagian dengan koefisien pertama (transformasi ekivalen). Persamaan yang ditransformasikan akan memiliki akar yang sama dengan persamaan tidak tereduksi yang diberikan, atau persamaan tersebut juga tidak memiliki akar sama sekali.

Pertimbangan atas contoh spesifik akan memungkinkan kita untuk dengan jelas menunjukkan implementasi transisi dari persamaan kuadrat tak tereduksi ke persamaan kuadrat tereduksi.

Contoh 1

Persamaannya adalah 6 x 2 + 18 x - 7 \u003d 0 . Persamaan asli harus diubah menjadi bentuk tereduksi.

Keputusan

Menurut skema di atas, kami membagi kedua sisi persamaan asli dengan koefisien utama 6. Kemudian kami mendapatkan: (6 x 2 + 18 x - 7): 3 \u003d 0: 3dan ini sama dengan: (6 x 2): 3 + (18 x): 3 - 7: 3 \u003d 0 dan selanjutnya: (6: 6) x 2 + (18: 6) x - 7: 6 \u003d 0. Karenanya: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0. Dengan demikian, persamaan diperoleh yang setara dengan yang diberikan.

Menjawab: x 2 + 3 x - 1 1 6 \u003d 0.

Persamaan kuadrat lengkap dan tidak lengkap

Mari beralih ke definisi persamaan kuadrat. Di dalamnya, kami menentukannya a ≠ 0... Kondisi serupa diperlukan untuk persamaan a x 2 + b x + c \u003d 0 tepat persegi, sejak untuk a \u003d 0 itu pada dasarnya berubah menjadi persamaan linier b x + c \u003d 0.

Dalam kasus ketika koefisien b dan csama dengan nol (yang dimungkinkan, baik secara individual maupun bersama-sama), persamaan kuadrat disebut tidak lengkap.

Definisi 4

Persamaan kuadrat tidak lengkap Apakah persamaan kuadrat seperti itu a x 2 + b x + c \u003d 0,di mana setidaknya satu koefisien bdan c(atau keduanya) adalah nol.

Persamaan kuadrat penuh - persamaan kuadrat di mana semua koefisien numerik tidak sama dengan nol.

Mari kita bahas mengapa jenis-jenis persamaan kuadrat diberi nama persis seperti itu.

Untuk b \u003d 0, persamaan kuadrat mengambil bentuk a x 2 + 0 x + c \u003d 0yang sama dengan a x 2 + c \u003d 0... Kapan c \u003d 0 persamaan kuadrat ditulis sebagai a x 2 + b x + 0 \u003d 0yang setara dengan a x 2 + b x \u003d 0... Kapan b \u003d 0 dan c \u003d 0 persamaannya menjadi a x 2 \u003d 0... Persamaan yang kami peroleh berbeda dari persamaan kuadrat penuh karena di sisi kiri tidak terdapat suku dengan variabel x, atau suku bebas, atau keduanya sekaligus. Sebenarnya, fakta ini memberi nama untuk jenis persamaan ini - tidak lengkap.

Misalnya, x 2 + 3 x + 4 \u003d 0 dan - 7 x 2 - 2 x + 1, 3 \u003d 0 adalah persamaan kuadrat lengkap; x 2 \u003d 0, - 5 x 2 \u003d 0; 11 x 2 + 2 \u003d 0, - x 2 - 6 x \u003d 0 - persamaan kuadrat tidak lengkap.

Memecahkan persamaan kuadrat tidak lengkap

Definisi di atas memungkinkan untuk membedakan jenis-jenis persamaan kuadrat tidak lengkap berikut:

• a x 2 \u003d 0, persamaan seperti itu sesuai dengan koefisien b \u003d 0 dan c \u003d 0;
• a x 2 + c \u003d 0 untuk b \u003d 0;
• a x 2 + b x \u003d 0 pada c \u003d 0.

Pertimbangkan secara berurutan solusi dari setiap jenis persamaan kuadrat tidak lengkap.

Solusi dari persamaan a x 2 \u003d 0

Seperti disebutkan di atas, persamaan ini sesuai dengan koefisien b dan csama dengan nol. Persamaannya a x 2 \u003d 0 dimungkinkan untuk berubah menjadi persamaan yang setara x 2 \u003d 0, yang kita dapatkan dengan membagi kedua sisi persamaan asli dengan angka tersebut Sebuahtidak sama dengan nol. Ini adalah fakta yang jelas bahwa akar persamaan x 2 \u003d 0 itu nol karena 0 2 = 0 ... Persamaan ini tidak memiliki akar lain, yang dapat dijelaskan dengan sifat-sifat derajat: untuk bilangan apa pun p,tidak sama dengan nol, ketimpangan itu benar p 2\u003e 0, Dari mana itu mengikuti untuk p ≠ 0 persamaan p 2 \u003d 0tidak akan pernah tercapai.

Definisi 5

Jadi, untuk persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 \u003d 0, ada akar uniknya x \u003d 0.

Contoh 2

Misalnya, mari kita selesaikan persamaan kuadrat tak lengkap - 3 x 2 \u003d 0... Ini setara dengan persamaan x 2 \u003d 0, satu-satunya akarnya adalah x \u003d 0, maka persamaan aslinya juga memiliki akar tunggal - nol.

Singkatnya, keputusan diambil sebagai berikut:

- 3 x 2 \u003d 0, x 2 \u003d 0, x \u003d 0.

Solusi dari persamaan a x 2 + c \u003d 0

Langkah selanjutnya adalah penyelesaian persamaan kuadrat tidak lengkap, di mana b \u003d 0, c ≠ 0, yaitu persamaan bentuk a x 2 + c \u003d 0... Kami mengubah persamaan ini dengan mentransfer suku dari satu sisi persamaan ke sisi lain, mengubah tandanya menjadi kebalikan dan membagi kedua sisi persamaan dengan angka yang tidak sama dengan nol:

• menopang c ke kanan, yang memberikan persamaan a x 2 \u003d - c;
• kami membagi kedua sisi persamaan dengan Sebuah, kita dapatkan sebagai hasil x \u003d - c a.

Transformasi kita ekivalen, masing-masing, persamaan yang dihasilkan juga sama dengan persamaan asli, dan fakta ini memungkinkan untuk menarik kesimpulan tentang akar persamaan. Dari apa nilainya Sebuah dan cnilai dari ekspresi - c a bergantung: ia dapat memiliki tanda minus (misalnya, jika a \u003d 1 dan c \u003d 2, maka - c a \u003d - 2 1 \u003d - 2) atau tanda tambah (misalnya, jika a \u003d - 2 dan c \u003d 6, maka - c a \u003d - 6 - 2 \u003d 3); itu tidak sama dengan nol karena c ≠ 0... Mari kita membahas lebih rinci tentang situasi ketika - c a< 0 и - c a > 0 .

Dalam kasus ketika - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа p persamaan p 2 \u003d - c a tidak mungkin benar.

Semuanya berbeda ketika - c a\u003e 0: ingatlah akar kuadrat, dan akan menjadi jelas bahwa akar persamaan x 2 \u003d - c a adalah bilangan - c a, karena - c a 2 \u003d - c a. Mudah untuk dipahami bahwa bilangan - - c a juga merupakan akar dari persamaan x 2 \u003d - c a: memang, - - c a 2 \u003d - c a.

Persamaan tidak akan memiliki akar lain. Kami dapat mendemonstrasikan ini menggunakan metode kontradiktif. Untuk memulainya, kami mendefinisikan notasi untuk akar yang ditemukan di atas sebagai x 1 dan - x 1... Mari kita asumsikan bahwa persamaan x 2 \u003d - c a juga memiliki akar x 2yang berbeda dari akarnya x 1 dan - x 1... Kita tahu itu dengan mensubstitusi persamaan, bukan x akarnya, ubah persamaan menjadi persamaan numerik yang adil.

Untuk x 1 dan - x 1 kita menulis: x 1 2 \u003d - c a, dan untuk x 2 - x 2 2 \u003d - c a. Berdasarkan sifat persamaan numerik, kita mengurangi satu persamaan benar dari suku lain dengan suku, yang akan menghasilkan: x 1 2 - x 2 2 \u003d 0... Kami menggunakan properti tindakan pada angka untuk menulis ulang persamaan terakhir sebagai (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) \u003d 0... Diketahui bahwa hasil perkalian dua bilangan adalah nol jika dan hanya jika setidaknya salah satu bilangan tersebut nol. Dari apa yang telah dikatakan berikut itu x 1 - x 2 \u003d 0 dan / atau x 1 + x 2 \u003d 0yang sama x 2 \u003d x 1 dan / atau x 2 \u003d - x 1... Kontradiksi yang jelas muncul, karena pada awalnya disepakati bahwa akar persamaan x 2 berbeda dari x 1 dan - x 1... Jadi, kita telah membuktikan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar lain kecuali x \u003d - c a dan x \u003d - - c a.

Kami merangkum semua alasan di atas.

Definisi 6

Persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 + c \u003d 0 ekivalen dengan persamaan x 2 \u003d - c a, yang:

• tidak akan memiliki akar untuk - c a< 0 ;
• akan memiliki dua akar x \u003d - c a dan x \u003d - - c a untuk - c a\u003e 0.

Mari kita beri contoh menyelesaikan persamaan a x 2 + c \u003d 0.

Contoh 3

Persamaan kuadrat diberikan 9 x 2 + 7 \u003d 0.Perlu dicari solusinya.

Keputusan

Kami mentransfer suku bebas ke ruas kanan persamaan, lalu persamaan tersebut mengambil bentuk 9 x 2 \u003d - 7.
Kami membagi kedua sisi persamaan yang dihasilkan dengan 9 , kita sampai pada x 2 \u003d - 7 9. Di sisi kanan, kita melihat angka dengan tanda minus, yang artinya: persamaan yang diberikan tidak memiliki akar. Kemudian persamaan kuadrat tidak lengkap asli 9 x 2 + 7 \u003d 0 tidak akan memiliki akar.

Menjawab: persamaan 9 x 2 + 7 \u003d 0tidak memiliki akar.

Contoh 4

Itu perlu untuk menyelesaikan persamaan - x 2 + 36 \u003d 0.

Keputusan

Pindahkan 36 ke sisi kanan: - x 2 \u003d - 36.
Mari bagi kedua bagian menjadi − 1 , kita mendapatkan x 2 \u003d 36... Di sisi kanan adalah bilangan positif, dari situ kita dapat menyimpulkannya x \u003d 36 atau x \u003d - 36.
Ekstrak akar dan tuliskan hasil akhirnya: persamaan kuadrat tidak lengkap - x 2 + 36 \u003d 0 memiliki dua akar x \u003d 6 atau x \u003d - 6.

Menjawab: x \u003d 6 atau x \u003d - 6.

Solusi dari persamaan a x 2 + b x \u003d 0

Mari kita pertimbangkan jenis ketiga dari persamaan kuadrat tidak lengkap, kapan c \u003d 0... Untuk mencari solusi dari persamaan kuadrat tak lengkap a x 2 + b x \u003d 0, kami menggunakan metode faktorisasi. Kami memfaktorkan polinomial di sisi kiri persamaan, mengeluarkan faktor persekutuan di luar tanda kurung x... Langkah ini akan memungkinkan untuk mengubah persamaan kuadrat tidak lengkap yang asli menjadi persamaannya x (a x + b) \u003d 0... Dan persamaan ini, pada gilirannya, setara dengan sekumpulan persamaan x \u003d 0 dan a x + b \u003d 0... Persamaannya a x + b \u003d 0 linier, dan akarnya adalah: x \u003d - b a.

Definisi 7

Jadi, persamaan kuadrat tidak lengkap a x 2 + b x \u003d 0 akan memiliki dua akar x \u003d 0 dan x \u003d - b a.

Mari perbaiki materi dengan sebuah contoh.

Contoh 5

Anda harus mencari solusi untuk persamaan 2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0.

Keputusan

Mengambil x tanda kurung dan dapatkan persamaan x · 2 3 · x - 2 2 7 \u003d 0. Persamaan ini ekuivalen dengan persamaan x \u003d 0 dan 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0. Sekarang Anda harus menyelesaikan persamaan linier yang dihasilkan: 2 3 · x \u003d 2 2 7, x \u003d 2 2 7 2 3.

Kami secara singkat menulis solusi persamaan sebagai berikut:

2 3 x 2 - 2 2 7 x \u003d 0 x 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 atau 2 3 x - 2 2 7 \u003d 0

x \u003d 0 atau x \u003d 3 3 7

Menjawab: x \u003d 0, x \u003d 3 3 7.

Diskriminan, rumus untuk akar persamaan kuadrat

Untuk mencari solusi persamaan kuadrat, ada rumus root:

Definisi 8

x \u003d - b ± D 2 a, dimana D \u003d b 2 - 4 a c - Yang disebut diskriminan dari persamaan kuadrat.

Notasi x \u003d - b ± D 2 · a pada dasarnya berarti bahwa x 1 \u003d - b + D 2 · a, x 2 \u003d - b - D 2 · a.

Akan berguna untuk memahami bagaimana rumus yang ditunjukkan diturunkan dan bagaimana menerapkannya.

Penurunan rumus untuk akar persamaan kuadrat

Mari kita menghadapi tugas menyelesaikan persamaan kuadrat a x 2 + b x + c \u003d 0... Mari kita lakukan sejumlah transformasi yang setara:

• bagilah kedua sisi persamaan dengan angka tersebut sebuah, selain nol, kita mendapatkan persamaan kuadrat tereduksi: x 2 + b a · x + c a \u003d 0;
• pilih kotak penuh di sisi kiri persamaan yang dihasilkan:
  x 2 + ba x + ca \u003d x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca \u003d \u003d x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + ca
  Setelah ini, persamaannya akan berbentuk: x + b 2 · a 2 - b 2 · a 2 + c a \u003d 0;
• sekarang adalah mungkin untuk memindahkan dua suku terakhir ke sisi kanan dengan mengubah tandanya ke kebalikannya, setelah itu kita mendapatkan: x + b 2 · a 2 \u003d b 2 · a 2 - c a;
• akhirnya, kami mengubah ekspresi yang ditulis di sisi kanan persamaan terakhir:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2-4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Jadi, kita sampai pada persamaan x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2, yang setara dengan persamaan aslinya a x 2 + b x + c \u003d 0.

Kami menganalisis solusi persamaan tersebut di paragraf sebelumnya (solusi dari persamaan kuadrat tidak lengkap). Pengalaman yang diperoleh memungkinkan untuk menarik kesimpulan tentang akar persamaan x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2:

• di b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• untuk b 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d 0 persamaan tersebut berbentuk x + b 2 a 2 \u003d 0, maka x + b 2 a \u003d 0.

Oleh karena itu, akar hanya x \u003d - b 2 · a;

• untuk b 2 - 4 a c 4 a 2\u003e 0 maka akan benar: x + b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 atau x \u003d b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, yang sama dengan x + - b 2 a \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 atau x \u003d - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2, yaitu persamaan memiliki dua akar.

Dapat disimpulkan bahwa ada atau tidak adanya akar persamaan x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2 (dan karenanya persamaan aslinya) bergantung pada tanda ekspresi b 2 - 4 a c 4 · A 2 ditulis di sisi kanan. Dan tanda ekspresi ini ditentukan oleh tanda pembilang, (penyebut 4 a 2 akan selalu positif), yaitu tanda ungkapan b 2 - 4 a c... Ekspresi ini b 2 - 4 a c nama diberikan - diskriminan dari persamaan kuadrat dan huruf D didefinisikan sebagai penunjukannya. Di sini Anda dapat menuliskan esensi diskriminan - dengan nilai dan tandanya, disimpulkan apakah persamaan kuadrat akan memiliki akar nyata, dan, jika demikian, berapa jumlah akar - satu atau dua.

Mari kita kembali ke persamaan x + b 2 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2. Kami menulis ulang menggunakan notasi untuk diskriminan: x + b 2 · a 2 \u003d D 4 · a 2.

Mari kita rumuskan lagi kesimpulannya:

Definisi 9

• di D< 0 persamaan tersebut tidak memiliki akar yang nyata;
• di D \u003d 0 persamaan memiliki akar tunggal x \u003d - b 2 · a;
• di D\u003e 0 persamaan tersebut memiliki dua akar: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 atau x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Berdasarkan sifat-sifat akar, akar-akar tersebut dapat ditulis sebagai: x \u003d - b 2 a + D 2 a atau - b 2 a - D 2 a. Dan ketika kita membuka modul dan mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama, kita mendapatkan: x \u003d - b + D 2 · a, x \u003d - b - D 2 · a.

Jadi, hasil dari penalaran kami adalah penurunan rumus akar persamaan kuadrat:

x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a, diskriminan D dihitung dengan rumus D \u003d b 2 - 4 a c.

Rumus ini memungkinkan, dengan diskriminan lebih besar dari nol, untuk menentukan kedua akar nyata. Jika diskriminannya nol, penerapan kedua rumus akan menghasilkan akar yang sama sebagai satu-satunya solusi persamaan kuadrat. Dalam kasus ketika diskriminannya negatif, mencoba menggunakan rumus akar kuadrat, kita akan dihadapkan pada kebutuhan untuk mengekstrak akar kuadrat dari bilangan negatif, yang akan membawa kita melampaui bilangan real. Dengan diskriminan negatif, persamaan kuadrat tidak akan memiliki akar nyata, tetapi sepasang akar konjugasi kompleks dimungkinkan, ditentukan oleh rumus akar yang sama yang kita peroleh.

Algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan rumus akar

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan segera menggunakan rumus akar, tetapi pada dasarnya ini dilakukan jika perlu untuk mencari akar yang kompleks.

Dalam sebagian besar kasus, ini biasanya dimaksudkan bukan untuk mencari kompleks, tetapi untuk akar nyata dari persamaan kuadrat. Maka itu optimal, sebelum menggunakan rumus untuk akar persamaan kuadrat, pertama-tama tentukan diskriminan dan pastikan itu tidak negatif (jika tidak, kita akan menyimpulkan bahwa persamaan tersebut tidak memiliki akar nyata), lalu lanjutkan untuk menghitung nilai-nilai akar.

Alasan di atas memungkinkan untuk merumuskan algoritma untuk menyelesaikan persamaan kuadrat.

Definisi 10

Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat a x 2 + b x + c \u003d 0, itu perlu:

• sesuai rumus D \u003d b 2 - 4 a c temukan nilai diskriminan;
• di D< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• untuk D \u003d 0, cari satu-satunya akar persamaan dengan rumus x \u003d - b 2 · a;
• untuk D\u003e 0, tentukan dua akar nyata dari persamaan kuadrat dengan rumus x \u003d - b ± D 2 · a.

Perhatikan bahwa jika diskriminan adalah nol, Anda dapat menggunakan rumus x \u003d - b ± D 2 · a, ini akan memberikan hasil yang sama dengan rumus x \u003d - b 2 · a.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh pemecahan persamaan kuadrat

Mari kita berikan solusi contoh untuk nilai diskriminan yang berbeda.

Contoh 6

Anda perlu menemukan akar persamaan x 2 + 2 x - 6 \u003d 0.

Keputusan

Mari tuliskan koefisien numerik dari persamaan kuadrat: a \u003d 1, b \u003d 2 dan c \u003d - 6... Selanjutnya, kami bertindak sesuai dengan algoritme, yaitu mari kita mulai menghitung diskriminan, yang kita gantikan dengan koefisien a, b dan c ke dalam rumus diskriminan: D \u003d b 2-4 a c \u003d 2 2-4 1 (- 6) \u003d 4 + 24 \u003d 28.

Jadi, kita mendapat D\u003e 0, yang berarti persamaan asli akan memiliki dua akar nyata.
Untuk menemukannya, kita menggunakan rumus root x \u003d - b ± D 2 · a dan, menggantikan nilai yang sesuai, kita memperoleh: x \u003d - 2 ± 28 2 · 1. Mari kita sederhanakan ekspresi yang dihasilkan dengan mengambil faktor di luar tanda akar dan kemudian mengurangi pecahannya:

x \u003d - 2 ± 2 7 2

x \u003d - 2 + 2 7 2 atau x \u003d - 2 - 2 7 2

x \u003d - 1 + 7 atau x \u003d - 1 - 7

Menjawab: x \u003d - 1 + 7, x \u003d - 1 - 7.

Contoh 7

Itu perlu untuk menyelesaikan persamaan kuadrat - 4 x 2 + 28 x - 49 \u003d 0.

Keputusan

Mari kita definisikan diskriminan: D \u003d 28 2-4 (- 4) (- 49) \u003d 784 - 784 \u003d 0... Dengan nilai diskriminan ini, persamaan asli hanya akan memiliki satu akar, ditentukan oleh rumus x \u003d - b 2 · a.

x \u003d - 28 2 (- 4) x \u003d 3, 5

Menjawab: x \u003d 3, 5.

Contoh 8

Itu perlu untuk menyelesaikan persamaan 5 y 2 + 6 y + 2 \u003d 0

Keputusan

Koefisien numerik dari persamaan ini adalah: a \u003d 5, b \u003d 6 dan c \u003d 2. Kami menggunakan nilai-nilai ini untuk menemukan diskriminan: D \u003d b 2 - 4 · a · c \u003d 6 2 - 4 · 5 · 2 \u003d 36 - 40 \u003d - 4. Diskriminan yang dihitung adalah negatif, sehingga persamaan kuadrat asli tidak memiliki akar yang nyata.

Dalam kasus ketika tugasnya adalah untuk menunjukkan akar kompleks, kami menerapkan rumus untuk akar, melakukan tindakan dengan bilangan kompleks:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 atau x \u003d - 6 - 2 i 10,

x \u003d - 3 5 + 1 5 · i atau x \u003d - 3 5 - 1 5 · i.

Menjawab: tidak ada akar yang valid; akar kompleksnya adalah sebagai berikut: - 3 5 + 1 5 · i, - 3 5 - 1 5 · i.

Dalam kurikulum sekolah, tidak ada syarat baku untuk mencari akar yang kompleks, oleh karena itu jika dalam penyelesaian diskriminan ditetapkan negatif, jawabannya langsung dicatat bahwa tidak ada akar yang nyata.

Rumus akar untuk koefisien genap kedua

Rumus akar x \u003d - b ± D 2 a (D \u003d b 2 - 4 a c) memungkinkan untuk mendapatkan rumus lain, yang lebih ringkas, memungkinkan seseorang untuk mencari solusi persamaan kuadrat dengan koefisien genap pada x (atau dengan koefisien bentuk 2 n, misalnya, 2 · 3 atau 14 · ln 5 \u003d 2 · 7 · ln 5). Mari kita tunjukkan bagaimana rumus ini diturunkan.

Misalkan kita dihadapkan pada tugas mencari solusi persamaan kuadrat a x 2 + 2 n x + c \u003d 0. Kami bertindak sesuai dengan algoritme: kami menentukan diskriminan D \u003d (2 n) 2 - 4 a c \u003d 4 n 2 - 4 a c \u003d 4 (n 2 - a c), dan kemudian menggunakan rumus root:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x \u003d - n ± n 2 - a ca.

Misalkan ekspresi n 2 - a · c dilambangkan sebagai D 1 (kadang-kadang dilambangkan dengan D "). Maka rumus untuk akar dari persamaan kuadrat yang dianggap dengan koefisien kedua 2 n akan berbentuk:

x \u003d - n ± D 1 a, di mana D 1 \u003d n 2 - a · c.

Sangat mudah untuk melihat bahwa D \u003d 4 · D 1, atau D 1 \u003d D 4. Dengan kata lain, D 1 adalah seperempat diskriminan. Tentunya tanda D 1 sama dengan tanda D, artinya tanda D 1 juga dapat menjadi indikator ada tidaknya akar persamaan kuadrat.

Definisi 11

Jadi, untuk mencari penyelesaian persamaan kuadrat dengan koefisien kedua 2 n, diperlukan:

• temukan D 1 \u003d n 2 - a · c;
• di D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• jika D 1 \u003d 0, tentukan satu-satunya akar persamaan dengan rumus x \u003d - n a;
• untuk D 1\u003e 0 tentukan dua akar nyata dengan rumus x \u003d - n ± D 1 a.

Contoh 9

Persamaan kuadrat harus diselesaikan 5 x 2-6 x - 32 \u003d 0.

Keputusan

Koefisien kedua dari persamaan yang diberikan dapat direpresentasikan sebagai 2 · (- 3). Kemudian kita tulis ulang persamaan kuadrat tersebut sebagai 5 x 2 + 2 (- 3) x - 32 \u003d 0, di mana a \u003d 5, n \u003d - 3 dan c \u003d - 32.

Kami menghitung bagian keempat dari diskriminan: D 1 \u003d n 2 - a c \u003d (- 3) 2 - 5 (- 32) \u003d 9 + 160 \u003d 169. Nilai yang dihasilkan bertanda positif artinya persamaan tersebut memiliki dua akar nyata. Mari kita tentukan sesuai dengan rumus root yang sesuai:

x \u003d - n ± D 1 a, x \u003d - - 3 ± 169 5, x \u003d 3 ± 13 5,

x \u003d 3 + 13 5 atau x \u003d 3 - 13 5

x \u003d 3 1 5 atau x \u003d - 2

Dimungkinkan untuk melakukan penghitungan menggunakan rumus biasa untuk akar persamaan kuadrat, tetapi dalam kasus ini penyelesaiannya akan lebih rumit.

Menjawab: x \u003d 3 1 5 atau x \u003d - 2.

Menyederhanakan Persamaan Kuadrat

Kadang-kadang dimungkinkan untuk mengoptimalkan bentuk persamaan asli, yang akan menyederhanakan proses penghitungan akar.

Misalnya, persamaan kuadrat 12 x 2 - 4 x - 7 \u003d 0 jelas lebih cocok untuk diselesaikan daripada 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

Lebih sering, penyederhanaan bentuk persamaan kuadrat dilakukan dengan mengalikan atau membagi kedua bagiannya dengan angka tertentu. Sebagai contoh, di atas kami menunjukkan notasi persamaan yang disederhanakan 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0, diperoleh dengan membagi kedua bagiannya dengan 100.

Transformasi seperti itu dimungkinkan jika koefisien persamaan kuadrat tidak saling menguntungkan bilangan prima... Kemudian, biasanya, kedua sisi persamaan dibagi dengan pembagi persekutuan terbesar dari nilai absolut koefisiennya.

Sebagai contoh, kami menggunakan persamaan kuadrat 12 x 2 - 42 x + 48 \u003d 0. Kami mendefinisikan PBT dari nilai absolut koefisiennya: PBT (12, 42, 48) \u003d PBT (PBT (12, 42), 48) \u003d PBT (6, 48) \u003d 6. Mari bagi kedua sisi persamaan kuadrat awal dengan 6 dan dapatkan persamaan kuadrat ekuivalen 2 x 2-7 x + 8 \u003d 0.

Dengan mengalikan kedua sisi persamaan kuadrat, Anda biasanya menghilangkan koefisien pecahan. Dalam kasus ini, kalikan dengan kelipatan persekutuan terkecil dari penyebut koefisiennya. Misal setiap bagian dari persamaan kuadrat 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 dikalikan dengan KPK (6, 3, 1) \u003d 6, maka akan ditulis lebih banyak bentuk sederhana x 2 + 4 x - 18 \u003d 0.

Akhirnya, kita mencatat bahwa kita hampir selalu menghilangkan minus pada koefisien pertama persamaan kuadrat dengan mengubah tanda dari setiap suku persamaan, yang dicapai dengan mengalikan (atau membagi) kedua bagian dengan - 1. Misalnya, dari persamaan kuadrat - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, Anda dapat beralih ke versi sederhananya 2 x 2 + 3 x - 7 \u003d 0.

Hubungan antara akar dan koefisien

Rumus yang sudah diketahui untuk akar persamaan kuadrat x \u003d - b ± D 2 · a menyatakan akar persamaan dalam istilah koefisien numeriknya. Berdasarkan rumus ini, kami dapat menentukan dependensi lain antara akar dan koefisien.

Yang paling terkenal dan aplikatif adalah rumus teorema Vieta:

x 1 + x 2 \u003d - b a dan x 2 \u003d c a.

Secara khusus, untuk persamaan kuadrat yang diberikan, jumlah akar adalah koefisien kedua dengan tanda berlawanan, dan hasil kali akar sama dengan suku bebas. Misalnya, dengan bentuk persamaan kuadrat 3 x 2-7 x + 22 \u003d 0, Anda dapat langsung menentukan bahwa jumlah dari akarnya adalah 7 3, dan hasil kali akarnya adalah 22 3.

Anda juga bisa mencari sejumlah hubungan lain antara akar dan koefisien dari persamaan kuadrat. Misalnya, jumlah kuadrat dari akar persamaan kuadrat dapat diekspresikan melalui koefisien:

x 1 2 + x 2 2 \u003d (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 \u003d - ba 2 - 2 ca \u003d b 2 a 2 - 2 ca \u003d b 2 - 2 a ca 2.

Jika Anda melihat kesalahan pada teks, pilih dan tekan Ctrl + Enter