सेट आधुनिक गणित की बुनियादी अवधारणाओं में से एक है, जिसका उपयोग इसकी लगभग सभी शाखाओं में किया जाता है।

कई प्रश्नों में तत्वों के एक निश्चित समूह को एक संपूर्ण के रूप में विचार करना आवश्यक है। तो, एक जीवविज्ञानी, जानवरों का अध्ययन कर रहा है और वनस्पति जगतदिया गया क्षेत्र, सभी व्यक्तियों को प्रजातियों के आधार पर, प्रजातियों को जीनस आदि के आधार पर वर्गीकृत करता है। प्रत्येक प्रजाति जीवित प्राणियों का एक निश्चित संग्रह है, जिसे समग्र रूप से माना जाता है।

ऐसे संग्रहों के गणितीय विवरण के लिए, एक सेट की अवधारणा पेश की गई थी। सेट सिद्धांत के रचनाकारों में से एक, जर्मन गणितज्ञ जॉर्ज कैंटर (1845-1918) के अनुसार, "एक सेट कई चीजें हैं जिन्हें हम एक के रूप में सोचते हैं।" बेशक, इन शब्दों को किसी सेट की गणितीय रूप से सख्त परिभाषा के रूप में नहीं माना जा सकता है; ऐसी कोई परिभाषा मौजूद नहीं है, क्योंकि सेट की अवधारणा प्रारंभिक है जिसके आधार पर गणित की अन्य अवधारणाएँ बनाई जाती हैं। लेकिन इन शब्दों से यह स्पष्ट है कि हम प्राकृत संख्याओं के समुच्चय, समतल पर त्रिभुजों के समुच्चय के बारे में बात कर सकते हैं।

तत्वों की एक सीमित संख्या से युक्त समुच्चयों को परिमित कहा जाता है, और अन्य समुच्चयों को अनंत कहा जाता है। उदाहरण के लिए, समुद्र में व्हेलों का समुच्चय सीमित है, लेकिन परिमेय संख्याओं का समुच्चय अनंत है। परिमित सेट को उनके तत्वों को सूचीबद्ध करके परिभाषित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, किसी दिए गए कक्षा में छात्रों का सेट कक्षा रजिस्टर में उनकी सूची द्वारा दिया गया है)। यदि सेट में तत्व शामिल हैं, तो लिखें:। अनंत समुच्चयों को उनके तत्वों की सूची द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है। वे आम तौर पर एक संपत्ति को इंगित करके निर्दिष्ट किए जाते हैं जो किसी दिए गए सेट के सभी तत्वों के पास है, लेकिन कोई भी तत्व जो इस सेट से संबंधित नहीं है। इस गुण को विचाराधीन समुच्चय की विशेषता कहा जाता है। यदि वाक्य "एक तत्व में गुण है" के लिए एक संक्षिप्त पदनाम है, तो गुण वाले सभी तत्वों के सेट को निम्नानुसार दर्शाया गया है:। उदाहरण के लिए, रिकार्ड मतलब समीकरण की जड़ों का सेट, यानी गुच्छा । ऐसा हो सकता है कि ऐसा कोई तत्व न हो जिसमें गुण हो (उदाहरण के लिए, कोई विषम संख्या नहीं है जो 2 से विभाज्य हो)। इस मामले में, सेट में एक भी तत्व नहीं है। वह सेट जिसमें एक भी तत्व नहीं होता है उसे खाली कहा जाता है। यह संकेत द्वारा दर्शाया गया है।

यदि तत्व सेट से संबंधित है, तो लिखें: , अन्यथा लिखें: या । समान तत्वों से युक्त समुच्चय को समान (संयोग) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, समबाहु त्रिभुजों का समुच्चय और समबाहु त्रिभुजों का समुच्चय बराबर हैं, क्योंकि ये एक ही त्रिभुज हैं: यदि किसी त्रिभुज की सभी भुजाएँ समान हैं, तो उसके सभी कोण समान हैं; इसके विपरीत, किसी त्रिभुज के तीनों कोणों की समानता से उसकी तीनों भुजाओं की समानता आती है। यह स्पष्ट है कि दो परिमित समुच्चय समान होते हैं, उदाहरण के लिए, केवल उनके तत्वों के क्रम में एक दूसरे से भिन्न होते हैं .

प्रत्येक वर्ग एक आयत है. वर्गों के समुच्चय को आयतों के समुच्चय का हिस्सा कहा जाता है, या, जैसा कि वे गणित में कहते हैं, आयतों के समुच्चय का एक उपसमुच्चय है। यदि समुच्चय समुच्चय का उपसमुच्चय है, तो लिखें: या। किसी भी सेट के लिए समावेशन सत्य हैं।

इन सेटों से प्रतिच्छेदन, संघ और घटाव के संचालन का उपयोग करके नए सेट का निर्माण करना संभव है। समुच्चयों का प्रतिच्छेदन उनका सामान्य भाग है, अर्थात्। दोनों से संबंधित तत्वों का सेट, और। इस सेट को निम्न द्वारा निरूपित किया जाता है: . उदाहरण के लिए, दो का प्रतिच्छेदन ज्यामितीय आकारउनकी है एक सामान्य भाग, आयतों के एक सेट के साथ समचतुर्भुज के एक सेट का प्रतिच्छेदन - वर्गों का एक सेट, आदि।

समुच्चयों का संघ एक समुच्चय है जो इनमें से कम से कम एक समुच्चय से संबंधित तत्वों से बना होता है। में कई मामलेवर्गीकरण जोड़ीवार असंयुक्त उपसमुच्चय के संघ के रूप में सेटों के प्रतिनिधित्व का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, बहुभुजों का समुच्चय त्रिभुजों, चतुर्भुजों, ..., -गोनों के समुच्चय का मिलन है।

यदि आप संघ और प्रतिच्छेदन की संक्रियाओं को एक निश्चित समुच्चय के उपसमुच्चय पर लागू करते हैं, तो आपको पुनः उसी समुच्चय के उपसमुच्चय प्राप्त होंगे। इन संक्रियाओं में संख्याओं को जोड़ने और गुणा करने की संक्रियाओं के गुणों के समान कई गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, समुच्चयों के प्रतिच्छेदन और संघ में क्रमपरिवर्तन और साहचर्यता के गुण होते हैं, प्रतिच्छेदन संघ के सापेक्ष वितरणात्मक होता है, अर्थात। किसी भी सेट के लिए और संबंध सत्य है, आदि। लेकिन एक ही समय में, सेट पर संचालन में कई गुण होते हैं जिनका संख्याओं पर संचालन में कोई एनालॉग नहीं होता है। उदाहरण के लिए, किसी भी समुच्चय के लिए समानताएँ सत्य हैं, वितरण का दूसरा नियम सत्य है, आदि।

सेट पर संचालन के गुणों का उपयोग करके, आप सेट वाले अभिव्यक्तियों को बदल सकते हैं, जैसे आप सामान्य बीजगणित में अभिव्यक्तियों को बदलने के लिए संख्याओं पर संचालन के गुणों का उपयोग कर सकते हैं। इस प्रकार उत्पन्न होने वाले बीजगणित को बूलियन बीजगणित कहा जाता है, जिसका नाम अंग्रेजी गणितज्ञ और तर्कशास्त्री जे. बूले (1815-1864) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने गणितीय तर्क की समस्याओं के संबंध में इसका अध्ययन किया था। बूलियन बीजगणित के कई अनुप्रयोग हैं, विशेषकर विद्युत नेटवर्क सिद्धांत में।

एक परिमित समुच्चय की मुख्य विशेषता उसके तत्वों की संख्या है (उदाहरण के लिए, एक वर्ग के शीर्षों के समुच्चय में 4 तत्व होते हैं)। यदि सेट में समान संख्या में तत्व हैं, उदाहरण के लिए यदि, तो इन सेट के तत्वों का उपयोग जोड़े बनाने के लिए किया जा सकता है , और से प्रत्येक तत्व, साथ ही साथ प्रत्येक तत्व, एक, और केवल एक, जोड़ी में शामिल है। उनका कहना है कि इस मामले में सेट के तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जाता है। और इसके विपरीत, यदि दो परिमित सेटों के बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जा सकता है, तो उनके पास समान संख्या में तत्व होते हैं।

जी. कैंटर ने समान तरीके से अनंत सेटों की एक दूसरे से तुलना करने का प्रस्ताव रखा। यदि उनके बीच एक-से-एक पत्राचार स्थापित किया जा सकता है, तो सेट और को समान कार्डिनैलिटी कहा जाता है। इस प्रकार संख्याओं से बने सेटों की तुलना करके, कैंटर ने दिखाया कि प्राकृतिक संख्याओं के सेट और तर्कसंगत संख्याओं के सेट के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है, हालांकि प्राकृतिक संख्याओं का सेट तर्कसंगत संख्याओं के सेट का केवल एक हिस्सा है नंबर. इस प्रकार, अनंत समुच्चयों के सिद्धांत में, यह कथन कि "भाग संपूर्ण से छोटा है" अपना बल खो देता है।

वे समुच्चय जिनकी प्रमुखता प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के समान होती है, गणनीय कहलाते हैं। इस प्रकार, परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है। बेशुमार समुच्चय का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है (या, जो समान है, एक सीधी रेखा पर बिंदुओं का समुच्चय)। चूँकि एक सीधी रेखा निरंतर होती है, ऐसी बेशुमार शक्ति को सातत्य की शक्ति कहा जाता है (लैटिन सातत्य से - "निरंतर")। सातत्य की शक्ति में वर्ग, घन, समतल और समस्त स्थान के बिंदुओं का समुच्चय होता है।

कई वर्षों से, गणितज्ञ इस समस्या को हल कर रहे हैं: क्या कोई ऐसा सेट है जिसकी कार्डिनैलिटी गणनीय और सातत्य कार्डिनैलिटी के बीच मध्यवर्ती है? 60 के दशक में हमारी सदी में, अमेरिकी गणितज्ञ पी. कोहेन और चेक गणितज्ञ पी. वोपेंका ने लगभग एक साथ, एक-दूसरे से स्वतंत्र होकर, यह साबित किया कि ऐसे सेट का अस्तित्व और इसकी अनुपस्थिति दोनों ही सेट सिद्धांत के अन्य सिद्धांतों का खंडन नहीं करते हैं (जैसे कि) समांतरता के सिद्धांत की स्वीकृति या इस सिद्धांत का खंडन ज्यामिति के अन्य सिद्धांतों का खंडन नहीं करता है)।

गणितीय विश्लेषण गणित की वह शाखा है जो एक अतिसूक्ष्म फलन के विचार के आधार पर फलनों के अध्ययन से संबंधित है।

गणितीय विश्लेषण की मूल अवधारणाएँ हैं मात्रा, समुच्चय, फलन, अतिसूक्ष्म फलन, सीमा, व्युत्पन्न, अभिन्न।

आकारकोई भी चीज़ जिसे संख्या द्वारा मापा और व्यक्त किया जा सकता है, कहलाती है।

अनेककुछ तत्वों का एक संग्रह है जो कुछ लोगों द्वारा एकजुट होते हैं आम लक्षण. किसी समुच्चय के तत्व संख्याएँ, आकृतियाँ, वस्तुएँ, अवधारणाएँ आदि हो सकते हैं।

सेट को बड़े अक्षरों से दर्शाया जाता है, और सेट के तत्वों को छोटे अक्षरों से दर्शाया जाता है। सेट के तत्व घुंघराले ब्रेसिज़ में संलग्न हैं।

यदि तत्व एक्ससेट का है एक्स, फिर लिखना एक्स∈एक्स (∈ - संबंधित है)।
यदि समुच्चय A, समुच्चय B का भाग है, तो लिखिए ए ⊂ बी (⊂ - निहित)।

एक सेट को दो तरीकों में से एक में परिभाषित किया जा सकता है: गणना द्वारा और एक परिभाषित संपत्ति का उपयोग करके।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित सेट गणना द्वारा निर्दिष्ट किए गए हैं:

• ए=(1,2,3,5,7) - संख्याओं का समूह
• Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - कुछ तत्वों का समुच्चय x 1 ,x 2 ,...,x n
• N=(1,2,...,n) - प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय
• Z=(0,±1,±2,...,±n) - पूर्णांकों का समुच्चय

समुच्चय (-∞;+∞) कहलाता है संख्या रेखा, और कोई भी संख्या इस रेखा पर एक बिंदु है। मान लीजिए a संख्या रेखा पर एक मनमाना बिंदु है और δ एक धनात्मक संख्या है। अंतराल (a-δ; a+δ) कहलाता है δ-बिंदु a का पड़ोस.

एक समुच्चय इस मामले में संख्या c कहा जाता है शीर्ष (निचला) किनारासमुच्चय X. ऊपर और नीचे दोनों ओर से घिरा हुआ समुच्चय कहलाता है सीमित. किसी समुच्चय के ऊपरी (निचले) फलकों में से सबसे छोटे (सबसे बड़े) को कहा जाता है सटीक शीर्ष (निचला) किनाराइस भीड़ का.

मूल संख्या सेट

एन	(1,2,3,...,एन) सभी का सेट
जेड	(0, ±1, ±2, ±3,...) सेट करें पूर्णांकपूर्णांकों के समुच्चय में प्राकृत संख्याओं का समुच्चय शामिल होता है।
क्यू	गुच्छा भिन्नात्मक संख्याएं. पूर्ण संख्याओं के अतिरिक्त भिन्न भी होते हैं। भिन्न उस रूप की अभिव्यक्ति है जहाँ पी- पूर्णांक, क्यू- प्राकृतिक। दशमलव भिन्नों को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए: 0.25 = 25/100 = 1/4. पूर्णांकों को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, हर "एक" के साथ भिन्न के रूप में: 2 = 2/1। इस प्रकार, किसी भी परिमेय संख्या को दशमलव अंश के रूप में लिखा जा सकता है - परिमित या अनंत आवधिक।
आर	हर किसी का भरपूर वास्तविक संख्या. अपरिमेय संख्याएँ अनंत गैर-आवधिक भिन्न हैं। इसमे शामिल है: दो समुच्चय (परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ) मिलकर वास्तविक (या वास्तविक) संख्याओं का समुच्चय बनाते हैं।

यदि किसी सेट में एक भी तत्व नहीं है, तो उसे कहा जाता है खाली सेटऔर रिकार्ड किया जाता है Ø .

तार्किक प्रतीकवाद के तत्व

संकेतन ∀x: |x|<2 → x 2 < 4 означает: для каждого x такого, что |x|<2, выполняется неравенство x 2 < 4.

परिमाणक

गणितीय अभिव्यक्तियाँ लिखते समय अक्सर परिमाणकों का उपयोग किया जाता है।

परिमाणकएक तार्किक प्रतीक कहलाता है जो इसके बाद आने वाले तत्वों को मात्रात्मक रूप से दर्शाता है।

• ∀- सामान्य परिमाणक, का प्रयोग "सभी के लिए", "किसी के लिए" शब्दों के स्थान पर किया जाता है।
• ∃- अस्तित्व परिमाणक, का प्रयोग "मौजूद है", "उपलब्ध है" शब्दों के स्थान पर किया जाता है। प्रतीक संयोजन ∃! का भी उपयोग किया जाता है, जिसे ऐसे पढ़ा जाता है मानो केवल एक ही है।

संचालन सेट करें

दो समुच्चय A और B बराबर हैं(ए=बी) यदि उनमें समान तत्व शामिल हैं।
उदाहरण के लिए, यदि A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2) तो A=B।

संघ द्वारा (योग)समुच्चय A और B एक समुच्चय A ∪ B है जिसके अवयव इनमें से कम से कम एक समुच्चय से संबंधित हैं।
उदाहरण के लिए, यदि A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), तो A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

प्रतिच्छेदन द्वारा (उत्पाद)सेट ए और बी को सेट ए ∩ बी कहा जाता है, जिसके तत्व सेट ए और सेट बी दोनों से संबंधित होते हैं।
उदाहरण के लिए, यदि A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), तो A ∩ B = (2,4)

अंतर सेसेट ए और बी को सेट एबी कहा जाता है, जिसके तत्व सेट ए से संबंधित हैं, लेकिन सेट बी से संबंधित नहीं हैं।
उदाहरण के लिए, यदि A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), तो AB = (1,2)

सममितीय अंतरसमुच्चय A और B को समुच्चय A Δ B कहा जाता है, जो समुच्चय AB और BA के अंतरों का मिलन है, अर्थात् A Δ B = (AB) ∪ (BA)।
उदाहरण के लिए, यदि A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), तो A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5 ,6)

सेट संचालन के गुण

परिवर्तनीयता गुण

ए ∪ बी = बी ∪ ए
ए ∩ बी = बी ∩ ए

मिलान संपत्ति

(ए ∪ बी) ∪ सी = ए ∪ (बी ∪ सी)
(ए ∩ बी) ∩ सी = ए ∩ (बी ∩ सी)

गणनीय और बेशुमार समुच्चय

किन्हीं दो समुच्चयों A और B की तुलना करने के लिए उनके तत्वों के बीच एक पत्राचार स्थापित किया जाता है।

यदि यह पत्राचार एक-से-एक है, तो सेट को समकक्ष या समान रूप से शक्तिशाली, ए बी या बी ए कहा जाता है।

उदाहरण 1

त्रिभुज ABC के पैर BC और कर्ण AC पर बिंदुओं का समूह समान शक्ति का है।

सभी प्रकार की विशाल विविधता से सेटविशेष रुचि तथाकथित हैं संख्या सेट, अर्थात् वे समुच्चय जिनके अवयव संख्याएँ हैं। यह स्पष्ट है कि उनके साथ आराम से काम करने के लिए आपको उन्हें लिखने में सक्षम होना होगा। हम इस लेख की शुरुआत संख्यात्मक सेट लिखने के संकेतन और सिद्धांतों से करेंगे। इसके बाद, आइए देखें कि समन्वय रेखा पर संख्यात्मक सेट कैसे दर्शाए जाते हैं।

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संख्यात्मक सेट लिखना

आइए स्वीकृत संकेतन से शुरू करें। जैसा कि आप जानते हैं, लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों का उपयोग सेट को दर्शाने के लिए किया जाता है। समुच्चय के विशेष मामले के रूप में संख्यात्मक समुच्चय को भी निर्दिष्ट किया जाता है। उदाहरण के लिए, हम संख्या समुच्चय A, H, W आदि के बारे में बात कर सकते हैं। प्राकृतिक, पूर्णांक, परिमेय, वास्तविक, सम्मिश्र संख्याओं आदि के समुच्चय विशेष महत्व के हैं; उनके लिए उनके अपने अंकन अपनाए गए हैं:

• एन - सभी प्राकृतिक संख्याओं का सेट;
• Z – पूर्णांकों का समुच्चय;
• क्यू - तर्कसंगत संख्याओं का सेट;
• जे - अपरिमेय संख्याओं का सेट;
• आर - वास्तविक संख्याओं का सेट;
• C सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है।

यहां से यह स्पष्ट है कि आपको उदाहरण के लिए, दो संख्याओं 5 और −7 वाले समुच्चय को Q के रूप में निरूपित नहीं करना चाहिए, यह पदनाम भ्रामक होगा, क्योंकि अक्षर Q आमतौर पर सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है। निर्दिष्ट संख्यात्मक सेट को दर्शाने के लिए, किसी अन्य "तटस्थ" अक्षर का उपयोग करना बेहतर है, उदाहरण के लिए, ए।

चूंकि हम अंकन के बारे में बात कर रहे हैं, आइए यहां एक खाली सेट के अंकन के बारे में भी याद रखें, यानी एक ऐसा सेट जिसमें तत्व शामिल नहीं हैं। इसे ∅ चिन्ह से दर्शाया जाता है।

आइए हम इस पदनाम को भी याद करें कि कोई तत्व किसी सेट से संबंधित है या नहीं। ऐसा करने के लिए, संकेतों का उपयोग करें ∈ - संबंधित है और ∉ - संबंधित नहीं है। उदाहरण के लिए, अंकन 5∈N का अर्थ है कि संख्या 5 प्राकृतिक संख्याओं के सेट से संबंधित है, और 5.7∉Z - दशमलव अंश 5.7 पूर्णांकों के सेट से संबंधित नहीं है।

और आइए हम एक सेट को दूसरे सेट में शामिल करने के लिए अपनाए गए नोटेशन को भी याद करें। यह स्पष्ट है कि सेट N के सभी तत्व सेट Z में शामिल हैं, इस प्रकार संख्या सेट N Z में शामिल है, इसे N⊂Z के रूप में दर्शाया गया है। आप नोटेशन Z⊃N का भी उपयोग कर सकते हैं, जिसका अर्थ है कि सभी पूर्णांक Z के सेट में सेट N शामिल है। शामिल नहीं किए गए और शामिल नहीं किए गए संबंध क्रमशः ⊄ और द्वारा दर्शाए गए हैं। फॉर्म ⊆ और ⊇ के गैर-सख्त समावेशन संकेतों का भी उपयोग किया जाता है, जिसका अर्थ क्रमशः शामिल या मेल खाता है और शामिल या मेल खाता है।

हमने अंकन के बारे में बात की है, आइए संख्यात्मक सेटों के विवरण पर आगे बढ़ें। इस मामले में, हम केवल उन मुख्य मामलों पर बात करेंगे जो व्यवहार में सबसे अधिक बार उपयोग किए जाते हैं।

आइए तत्वों की एक सीमित और छोटी संख्या वाले संख्यात्मक सेट से शुरू करें। तत्वों की एक सीमित संख्या से युक्त संख्यात्मक सेटों का उनके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करके वर्णन करना सुविधाजनक है। सभी संख्या तत्व अल्पविराम से अलग करके लिखे गए हैं और इसमें संलग्न हैं, जो सामान्य के अनुरूप है सेट का वर्णन करने के नियम. उदाहरण के लिए, तीन संख्याओं 0, −0.25 और 4/7 से युक्त एक सेट को (0, −0.25, 4/7) के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

कभी-कभी, जब संख्यात्मक सेट के तत्वों की संख्या काफी बड़ी होती है, लेकिन तत्व एक निश्चित पैटर्न का पालन करते हैं, तो विवरण के लिए दीर्घवृत्त का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 3 से 99 तक की सभी विषम संख्याओं के समुच्चय को (3, 5, 7, ..., 99) के रूप में लिखा जा सकता है।

इसलिए हमने आसानी से संख्यात्मक सेटों का वर्णन किया, जिनमें से तत्वों की संख्या अनंत है। कभी-कभी उन्हें सभी समान दीर्घवृत्तों का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, आइए सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट का वर्णन करें: N=(1, 2. 3,…) ।

वे इसके तत्वों के गुणों को इंगित करके संख्यात्मक सेटों के विवरण का भी उपयोग करते हैं। इस मामले में, अंकन (x| गुण) का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, नोटेशन (n| 8·n+3, n∈N) प्राकृतिक संख्याओं के सेट को निर्दिष्ट करता है, जिन्हें 8 से विभाजित करने पर 3 शेष बचता है। इसी सेट को (11,19, 27,...) के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

विशेष मामलों में, तत्वों की अनंत संख्या वाले संख्यात्मक सेट ज्ञात सेट N, Z, R, आदि होते हैं। या संख्या अंतराल. मूल रूप से, संख्यात्मक सेटों को इस प्रकार दर्शाया जाता है मिलनउनके घटक व्यक्तिगत संख्यात्मक अंतराल और तत्वों की एक सीमित संख्या के साथ संख्यात्मक सेट (जिसके बारे में हमने ऊपर बात की थी)।

चलिए एक उदाहरण दिखाते हैं. मान लें कि संख्या सेट में संख्याएँ −10, −9, −8.56, 0, खंड की सभी संख्याएँ [−5, −1,3] और खुली संख्या रेखा (7, +∞) की संख्याएँ शामिल हैं। समुच्चयों के संघ की परिभाषा के कारण निर्दिष्ट संख्यात्मक समुच्चय को इस प्रकार लिखा जा सकता है {−10, −9, −8,56}∪[−5, −1,3]∪{0}∪(7, +∞) . इस अंकन का वास्तव में मतलब एक सेट है जिसमें सेट के सभी तत्व (−10, −9, −8.56, 0), [−5, −1.3] और (7, +∞) शामिल हैं।

इसी प्रकार, विभिन्न संख्या अंतरालों और व्यक्तिगत संख्याओं के सेटों को मिलाकर, किसी भी संख्या सेट (वास्तविक संख्याओं से युक्त) का वर्णन किया जा सकता है। यहां यह स्पष्ट हो जाता है कि अंतराल, अर्ध-अंतराल, खंड, खुली संख्यात्मक किरण और संख्यात्मक किरण जैसे संख्यात्मक अंतराल क्यों पेश किए गए थे: ये सभी, व्यक्तिगत संख्याओं के सेट के लिए नोटेशन के साथ मिलकर, किसी भी संख्यात्मक सेट का वर्णन करना संभव बनाते हैं उनका मिलन.

कृपया ध्यान दें कि किसी संख्या समूह को लिखते समय, उसके घटक संख्याओं और संख्यात्मक अंतरालों को आरोही क्रम में क्रमबद्ध किया जाता है। यह एक आवश्यक लेकिन वांछनीय शर्त नहीं है, क्योंकि एक क्रमबद्ध संख्यात्मक सेट की कल्पना करना और समन्वय रेखा पर चित्रित करना आसान है। यह भी ध्यान दें कि ऐसे रिकॉर्ड सामान्य तत्वों के साथ संख्यात्मक अंतराल का उपयोग नहीं करते हैं, क्योंकि ऐसे रिकॉर्ड को सामान्य तत्वों के बिना संख्यात्मक अंतराल के संयोजन से प्रतिस्थापित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सामान्य तत्वों [−10, 0] और (−5, 3) के साथ संख्यात्मक सेटों का मिलन अर्ध-अंतराल [−10, 3) है। यही बात समान सीमा संख्याओं के साथ संख्यात्मक अंतरालों के मिलन पर भी लागू होती है, उदाहरण के लिए, संघ (3, 5]∪(5, 7] एक समुच्चय (3, 7] है, जब हम सीखेंगे तो हम इस पर अलग से ध्यान देंगे। संख्यात्मक सेटों का प्रतिच्छेदन और संघ खोजें

एक समन्वय रेखा पर संख्या सेटों का प्रतिनिधित्व

व्यवहार में, संख्यात्मक सेटों की ज्यामितीय छवियों का उपयोग करना सुविधाजनक है - उनकी छवियां। उदाहरण के लिए, जब असमानताओं को हल करना, जिसमें ODZ को ध्यान में रखना आवश्यक है, उनके प्रतिच्छेदन और/या संघ को खोजने के लिए संख्यात्मक सेटों को चित्रित करना आवश्यक है। इसलिए एक समन्वय रेखा पर संख्यात्मक सेटों को चित्रित करने की सभी बारीकियों की अच्छी समझ होना उपयोगी होगा।

यह ज्ञात है कि निर्देशांक रेखा के बिंदुओं और वास्तविक संख्याओं के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है, जिसका अर्थ है कि समन्वय रेखा स्वयं सभी वास्तविक संख्याओं आर के सेट का एक ज्यामितीय मॉडल है। इस प्रकार, सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को चित्रित करने के लिए, आपको इसकी पूरी लंबाई के साथ छायांकन के साथ एक समन्वय रेखा खींचने की आवश्यकता है:

और अक्सर वे मूल और इकाई खंड का भी संकेत नहीं देते हैं:

अब बात करते हैं संख्यात्मक सेटों की छवि के बारे में, जो व्यक्तिगत संख्याओं की एक निश्चित सीमित संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, आइए संख्या सेट (−2, −0.5, 1.2) को चित्रित करें। इस सेट की ज्यामितीय छवि, जिसमें तीन संख्याएं -2, -0.5 और 1.2 शामिल हैं, संबंधित निर्देशांक के साथ समन्वय रेखा के तीन बिंदु होंगे:

ध्यान दें कि आमतौर पर व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए ड्राइंग को सटीक रूप से पूरा करने की कोई आवश्यकता नहीं होती है। अक्सर एक योजनाबद्ध चित्रण पर्याप्त होता है, जिसका अर्थ है कि पैमाने को बनाए रखना आवश्यक नहीं है; इस मामले में, केवल एक दूसरे के सापेक्ष बिंदुओं की सापेक्ष स्थिति को बनाए रखना महत्वपूर्ण है: छोटे समन्वय वाला कोई भी बिंदु होना चाहिए बड़े निर्देशांक वाले बिंदु के बाईं ओर। पिछली ड्राइंग योजनाबद्ध रूप से इस तरह दिखेगी:

अलग-अलग, सभी प्रकार के संख्यात्मक सेटों से, संख्यात्मक अंतराल (अंतराल, अर्ध-अंतराल, किरणें, आदि) को प्रतिष्ठित किया जाता है, जो उनकी ज्यामितीय छवियों का प्रतिनिधित्व करते हैं; हमने अनुभाग में उनकी विस्तार से जांच की। हम यहां खुद को नहीं दोहराएंगे.

और यह केवल संख्यात्मक सेटों की छवि पर ध्यान केंद्रित करने के लिए ही रहता है, जो कई संख्यात्मक अंतरालों और व्यक्तिगत संख्याओं से युक्त सेटों का एक संघ है। यहां कुछ भी मुश्किल नहीं है: इन मामलों में संघ के अर्थ के अनुसार, समन्वय रेखा पर किसी दिए गए संख्यात्मक सेट के सभी घटकों को चित्रित करना आवश्यक है। उदाहरण के तौर पर, आइए एक संख्या सेट की एक छवि दिखाएं (−∞, −15)∪{−10}∪[−3,1)∪ (लॉग 2 5, 5)∪(17, +∞) :

और आइए हम काफी सामान्य मामलों पर ध्यान दें जब दर्शाया गया संख्यात्मक सेट एक या कई बिंदुओं को छोड़कर, वास्तविक संख्याओं के पूरे सेट का प्रतिनिधित्व करता है। ऐसे सेट अक्सर x≠5 या x≠−1, x≠2, x≠3.7, आदि जैसी शर्तों द्वारा निर्दिष्ट होते हैं। इन मामलों में, ज्यामितीय रूप से वे संबंधित बिंदुओं को छोड़कर, संपूर्ण समन्वय रेखा का प्रतिनिधित्व करते हैं। दूसरे शब्दों में, इन बिंदुओं को समन्वय रेखा से "बाहर निकालने" की आवश्यकता है। उन्हें एक खाली केंद्र वाले वृत्तों के रूप में दर्शाया गया है। स्पष्टता के लिए, आइए हम शर्तों के अनुरूप एक संख्यात्मक सेट चित्रित करें (यह सेट अनिवार्य रूप से मौजूद है):

संक्षेप। आदर्श रूप से, पिछले पैराग्राफ की जानकारी को व्यक्तिगत संख्यात्मक अंतराल के दृश्य के रूप में संख्यात्मक सेटों की रिकॉर्डिंग और चित्रण का एक ही दृश्य बनाना चाहिए: एक संख्यात्मक सेट की रिकॉर्डिंग को तुरंत समन्वय रेखा पर अपनी छवि देनी चाहिए, और छवि से समन्वय रेखा में हमें अलग-अलग अंतरालों और अलग-अलग संख्याओं से युक्त सेटों के संयोजन के माध्यम से संबंधित संख्यात्मक सेट का आसानी से वर्णन करने के लिए तैयार होना चाहिए।

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सेट सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाएँ

समुच्चय की अवधारणा आधुनिक गणित की एक मौलिक अवधारणा है। हम इस पर प्रारंभिक विचार करेंगे और सहजता से सेट सिद्धांत का निर्माण करेंगे। आइए हम इस प्रारंभिक अवधारणा का विवरण दें।

गुच्छा- वस्तुओं (विषयों या अवधारणाओं) का एक संग्रह है, जिसे एक संपूर्ण माना जाता है। इस संग्रह में शामिल वस्तुओं को कहा जाता है तत्वोंभीड़.

हम प्रथम वर्ष के अनेक गणित विद्यार्थियों, समुद्र में अनेक मछलियों आदि के बारे में बात कर सकते हैं। गणितज्ञ आमतौर पर गणितीय वस्तुओं के एक सेट में रुचि रखते हैं: तर्कसंगत संख्याओं का सेट, आयतों का सेट, आदि।

सेट को लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों से और इसके तत्वों को छोटे अक्षरों से दर्शाया जाएगा।

यदि सेट का एक तत्व है एम, फिर वे कहते हैं "का है" एम" और लिखा: । यदि कोई वस्तु किसी समुच्चय का तत्व नहीं है, तो उसे "संबंधित नहीं है" कहा जाता है। एमऔर लिखें (कभी-कभी)।

समुच्चय को परिभाषित करने के दो मुख्य तरीके हैं: स्थानांतरणइसके तत्व और संकेत विशेषता संपत्तिइसके तत्व. इनमें से पहली विधि का उपयोग मुख्यतः परिमित समुच्चयों के लिए किया जाता है। विचाराधीन सेट के तत्वों को सूचीबद्ध करते समय, इसके तत्व घुंघराले ब्रेसिज़ से घिरे होते हैं। उदाहरण के लिए, एक ऐसे समुच्चय को दर्शाता है जिसके अवयव संख्याएँ 2, 4, 7 और केवल वे हैं। यह विधि हमेशा लागू नहीं होती है, क्योंकि, उदाहरण के लिए, सभी वास्तविक संख्याओं का सेट इस तरह से निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है।

विशेषता संपत्तिसेट के तत्व एमएक ऐसी संपत्ति है कि इस संपत्ति को रखने वाला प्रत्येक तत्व संबंधित है एम, और कोई भी तत्व जिसमें यह गुण नहीं है वह संबंधित नहीं है एम. गुण वाले तत्वों के समूह को इस प्रकार दर्शाया गया है:

या .

सबसे अधिक बार पाए जाने वाले सेटों के अपने विशेष पदनाम होते हैं। निम्नलिखित में हम निम्नलिखित संकेतन का पालन करेंगे:

एन= - सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय;

जेड= – सभी पूर्णांकों का समुच्चय;

- सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय;

आर– सभी वास्तविक (वास्तविक) संख्याओं का समुच्चय, अर्थात्। तर्कसंगत संख्याएँ (अनंत दशमलव आवधिक भिन्न) और अपरिमेय संख्याएँ (अनंत दशमलव गैर-आवधिक भिन्न);

- सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय।

आइए हम एक विशिष्ट गुण निर्दिष्ट करके सेट निर्दिष्ट करने के और अधिक विशेष उदाहरण दें।

उदाहरण 1. संख्या 48 के सभी प्राकृत विभाजकों का समुच्चय इस प्रकार लिखा जा सकता है: (नोटेशन का उपयोग केवल पूर्णांकों के लिए किया जाता है, और इसका मतलब है कि यह विभाज्य है)।

उदाहरण 2. 7 से कम सभी धनात्मक परिमेय संख्याओं का समुच्चय इस प्रकार लिखा जाता है: .

उदाहरण 3. - 1 और 5 के अंत वाली वास्तविक संख्याओं का अंतराल; – 2 और 7 सिरे वाले वास्तविक संख्याओं का एक खंड।

"अनेक" शब्द से पता चलता है कि इसमें कई तत्व शामिल हैं। लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता. गणित में, ऐसे सेटों पर विचार किया जा सकता है जिनमें केवल एक ही तत्व होता है। उदाहरण के लिए, समीकरण के पूर्णांक मूलों का समुच्चय . इसके अलावा, ऐसे सेट के बारे में बात करना सुविधाजनक है जिसमें एक भी तत्व नहीं है। ऐसे समुच्चय को कहा जाता है खालीऔर इसे Ø से दर्शाया जाता है. उदाहरण के लिए, समीकरण की वास्तविक जड़ों का सेट खाली है।

परिभाषा 1.सेट कहलाते हैं बराबर(संकेतित ए=बी), यदि इन सेटों में समान तत्व शामिल हैं।

परिभाषा 2.यदि किसी समुच्चय का प्रत्येक अवयव समुच्चय का हो तो उसे समुच्चय कहा जाता है सबसेटसेट.

पदनाम: ("शामिल"); ("शामिल हैं").

यह स्पष्ट है कि Ø और समुच्चय स्वयं समुच्चय के उपसमुच्चय हैं। किसी समुच्चय का कोई अन्य उपसमुच्चय उसका कहलाता है सही भाग. यदि और , तो वे कहते हैं कि " ए – अपना उपसमुच्चय"या क्या" ए को सख्ती से शामिल किया गया है" और लिखा।

निम्नलिखित कथन स्पष्ट है: सेट और समान हैं यदि और केवल यदि और।

इस कथन के आधार पर दो समुच्चयों की समानता सिद्ध करने की सार्वभौमिक विधि: यह साबित करने के लिए कि सेट और बराबर हैं, ये दिखाने के लिए काफी है ,ए समुच्चय का एक उपसमुच्चय है .

यह सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधि है, हालाँकि एकमात्र नहीं है। बाद में, सेटों और उनके गुणों पर संचालन से परिचित होने के बाद, हम दो सेटों की समानता साबित करने का एक और तरीका बताएंगे - परिवर्तनों का उपयोग करना.

निष्कर्ष में, हम ध्यान दें कि अक्सर एक या दूसरे गणितीय सिद्धांत में वे एक ही सेट के सबसेट से निपटते हैं यूजिसे कहा जाता है सार्वभौमिकइस सिद्धांत में. उदाहरण के लिए, स्कूल बीजगणित और गणितीय विश्लेषण में सेट सार्वभौमिक है आरवास्तविक संख्याएँ, ज्यामिति में - अंतरिक्ष में बिंदुओं का एक समूह।

सेट और उनकी संपत्तियों पर संचालन

आप सेट पर ऐसी क्रियाएं (संचालन) कर सकते हैं जो जोड़, गुणा और घटाव से मिलती जुलती हैं।

परिभाषा 1. संगठनसेट और एक सेट कहा जाता है, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है, जिसका प्रत्येक तत्व कम से कम एक सेट या से संबंधित होता है।

वह संक्रिया ही, जिसके परिणामस्वरूप ऐसा समुच्चय बनता है, संघ कहलाता है।

परिभाषा 1 सारांश:

परिभाषा 2. पार करकेसेट और इसे एक सेट कहा जाता है, जिसे , द्वारा निरूपित किया जाता है, जिसमें वे सभी और केवल वे तत्व शामिल होते हैं, जिनमें से प्रत्येक , और दोनों से संबंधित होता है।

वह ऑपरेशन ही, जिसके परिणामस्वरूप एक सेट बनता है, इंटरसेक्शन कहलाता है।

परिभाषा 2 का संक्षिप्त सारांश:

उदाहरण के लिए, यदि , , वह , .

सेट को ज्यामितीय आकृतियों के रूप में चित्रित किया जा सकता है, जो आपको सेट पर संचालन को स्पष्ट रूप से चित्रित करने की अनुमति देता है। यह विधि तार्किक तर्क के विश्लेषण के लिए लियोनहार्ड यूलर (1707-1783) द्वारा प्रस्तावित की गई थी, इसका व्यापक रूप से उपयोग किया गया था और अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन वेन (1834-1923) के कार्यों में इसे और विकसित किया गया था। इसीलिए ऐसे चित्र कहे जाते हैं यूलर-वेन आरेख.

समुच्चयों के मिलन और प्रतिच्छेदन के संचालन को यूलर-वेन आरेख द्वारा निम्नानुसार चित्रित किया जा सकता है:

- छायांकित भाग; – छायांकित भाग.

आप सेटों के किसी भी संग्रह के मिलन और प्रतिच्छेदन को परिभाषित कर सकते हैं, जहां सूचकांकों का एक निश्चित सेट है।

परिभाषा । संगठनसेटों का संग्रह एक सेट है जिसमें वे सभी और केवल वे तत्व शामिल होते हैं, जिनमें से प्रत्येक सेट में से कम से कम एक से संबंधित होता है।

परिभाषा । पार करकेसेटों का संग्रह एक सेट है जिसमें वे सभी और केवल वे तत्व शामिल होते हैं, जिनमें से प्रत्येक सेट में से किसी एक से संबंधित होता है।

ऐसे मामले में जहां सूचकांकों का सेट सीमित है, उदाहरण के लिए, , तो इस मामले में सेटों के संग्रह के मिलन और प्रतिच्छेदन को दर्शाने के लिए, आमतौर पर निम्नलिखित नोटेशन का उपयोग किया जाता है:

और .

उदाहरण के लिए, यदि , , , वह , ।

स्कूली गणित पाठ्यक्रमों में समुच्चयों के मिलन और प्रतिच्छेदन की अवधारणाएँ अक्सर सामने आती हैं।

उदाहरण 1।गुच्छा एमअसमानताओं की प्रणाली का समाधान

इस प्रणाली की प्रत्येक असमानता के समाधान के सेट का प्रतिच्छेदन है:।

उदाहरण 2.गुच्छा एमसिस्टम समाधान

इस प्रणाली की प्रत्येक असमानता के समाधान के सेट का प्रतिच्छेदन है। पहले समीकरण के समाधानों का समुच्चय रेखा पर बिंदुओं का समुच्चय है, अर्थात। . गुच्छा । एक सेट में एक तत्व होता है - रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु।

उदाहरण 3.समीकरण के समाधान का सेट

कहाँ , प्रत्येक समीकरण के समाधान के सेट का संघ है, यानी।

परिभाषा 3. अंतर सेसेट और एक समुच्चय है, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है, और इसमें वे सभी और केवल वे तत्व शामिल हैं जो संबंधित हैं लेकिन संबंधित नहीं हैं .- छायांकित भाग; . संघ, प्रतिच्छेदन और जोड़ के संचालन के साथ। परिणामी गणितीय संरचना कहलाती है बीजगणित सेट करेंया बूलियन सेट बीजगणित(आयरिश गणितज्ञ और तर्कशास्त्री जॉर्ज बूले (1816-1864) के बाद)। हम एक मनमाने समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों को समुच्चय से निरूपित करेंगे और उसे नाम देंगे बूलियनसेट.

नीचे सूचीबद्ध समानताएँ किसी भी उपसमूह के लिए मान्य हैं ए, बी, सीसार्वसमुच्चय यूइसीलिए उन्हें बुलाया जाता है सेट बीजगणित के नियम.

सिद्धांतों

समुच्चय की अवधारणा के दो मुख्य दृष्टिकोण हैं - अनुभवहीनऔर सिद्धसमुच्चय सिद्धान्त।

स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत

आज, एक सेट को एक मॉडल के रूप में परिभाषित किया जाता है जो ZFC सिद्धांतों (पसंद के सिद्धांत के साथ ज़र्मेलो-फ्रेनकेल सिद्धांत) को संतुष्ट करता है। इस दृष्टिकोण के साथ, कुछ गणितीय सिद्धांतों में, वस्तुओं का संग्रह उत्पन्न होता है जो सेट नहीं हैं। ऐसे संग्रहों को वर्ग (विभिन्न क्रमों का) कहा जाता है।

तत्व सेट करें

वे वस्तुएँ जो एक समुच्चय बनाती हैं, कहलाती हैं सेट के तत्वया सेट के बिंदु. सेट को अक्सर लैटिन वर्णमाला के बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, इसके तत्वों को छोटे अक्षरों से दर्शाया जाता है। यदि a समुच्चय A का एक तत्व है, तो a ∈ A लिखें (a, A से संबंधित है)। यदि a समुच्चय A का तत्व नहीं है, तो a∉A लिखें (a, A से संबंधित नहीं है)।

कुछ प्रकार के सेट

• ऑर्डर किया गया सेट वह सेट होता है जिस पर ऑर्डर संबंध निर्दिष्ट होता है।
• एक सेट (विशेष रूप से एक ऑर्डर किया गया जोड़ा)। एक साधारण सेट के विपरीत, यह कोष्ठक के अंदर लिखा जाता है: ( एक्स 1 , एक्स 2 , एक्स 3 , …), और तत्वों को दोहराया जा सकता है।

पदानुक्रम द्वारा:

सेट का सेट सबसेट सुपरसेट

सीमा के अनुसार:

संचालन सेट करें

साहित्य

• स्टोल आर.आर.भीड़। तर्क. स्वयंसिद्ध सिद्धांत. - एम.: शिक्षा, 1968. - 232 पी।

यह सभी देखें

विकिमीडिया फ़ाउंडेशन. 2010.

देखें अन्य शब्दकोशों में "सेट का तत्व" क्या है:

तत्व सेट करें- - [एल.जी. सुमेंको। सूचना प्रौद्योगिकी पर अंग्रेजी-रूसी शब्दकोश। एम.: जीपी टीएसएनआईआईएस, 2003।] एक सेट का तत्व किसी भी प्रकृति की एक वस्तु, जो अन्य समान वस्तुओं के साथ मिलकर एक सेट बनाती है। प्राय: तत्त्व शब्द के स्थान पर... ...

तत्व सेट करें- किसी भी प्रकृति की एक वस्तु, जो अन्य समान वस्तुओं के साथ मिलकर एक समुच्चय बनाती है। अक्सर, इस अर्थ में तत्व शब्द के बजाय, वे "एक सेट का बिंदु", "एक सेट का सदस्य", आदि का उपयोग करते हैं... ...

सेट, गणित में, विशिष्ट वस्तुओं का एक संग्रह। इन वस्तुओं को सेट तत्व कहा जाता है। तत्वों की संख्या अनंत या परिमित या शून्य भी हो सकती है (खाली सेट में तत्वों की संख्या 0 से दर्शायी जाती है)। प्रत्येक… … वैज्ञानिक और तकनीकी विश्वकोश शब्दकोश

तत्व- एक सामान्यीकृत शब्द, जिसे उपयुक्त परिस्थितियों के आधार पर सतह, रेखा, बिंदु के रूप में समझा जा सकता है। टिप्पणियाँ 1. एक तत्व एक सतह (एक सतह का हिस्सा, कई सतहों की समरूपता का एक तल), एक रेखा (प्रोफ़ाइल...) हो सकता है तकनीकी अनुवादक मार्गदर्शिका

किसी चीज़ का भाग। इस शब्द की संभावित व्युत्पत्तियों में से एक व्यंजन लैटिन अक्षरों एल, एम, एन (एल एम एन) की एक श्रृंखला के नाम से है। तत्त्व (दर्शन) तत्त्व ध्वज, बैनर और मानक का अनिवार्य अंग है। सेट का तत्व प्राथमिक... विकिपीडिया

तत्व- एक जटिल संपूर्ण का प्राथमिक (इस अध्ययन के लिए, मॉडल) घटक। सेट एलिमेंट, सिस्टम एलिमेंट देखें... आर्थिक और गणितीय शब्दकोश

सेट गणित की प्रमुख वस्तुओं में से एक है, विशेष रूप से सेट सिद्धांत में। "भीड़ से हमारा तात्पर्य हमारे अंतर्ज्ञान या हमारे विचार की कुछ निश्चित, काफी भिन्न वस्तुओं में एकीकरण से है" (जी. कांटोर)। यह पूरी तरह से नहीं है... ...विकिपीडिया

तत्व- 01/02/14 तत्व (प्रतीक चिह्न या प्रतीक): बार कोड प्रतीक में एक एकल स्ट्रोक या स्थान, या मैट्रिक्स प्रतीक में एक एकल बहुभुज या गोलाकार सेल, एक प्रतीक चिन्ह बनाता है ... ... मानक और तकनीकी दस्तावेज़ीकरण की शर्तों की शब्दकोश-संदर्भ पुस्तक

ए; मी. [अक्षांश से. तत्त्व तत्त्व, मूल पदार्थ] 1. किसी चीज़ का एक घटक; अवयव। संपूर्ण को तत्वों में विघटित करें। संस्कृति किन तत्वों से बनी है? प्रकृति ई. उत्पादन। किसी चीज़ के अवयव। // विशेषता आंदोलन, एक... ... विश्वकोश शब्दकोश