Pada yang sebelumnya, kami memimpin sejumlah formula untuk menemukan karakteristik fungsi numerik ketika undang-undang distribusi argumen diketahui. Namun, dalam banyak kasus, untuk menemukan karakteristik numerik fungsi, tidak perlu untuk mengetahui bahkan hukum distribusi argumen, dan itu cukup untuk hanya mengetahui beberapa karakteristik numerik mereka; Pada saat yang sama, kami biasanya berperilaku tanpa hukum distribusi. Definisi karakteristik numerik dari fungsi sesuai dengan karakteristik numerik yang ditentukan dari argumen ini banyak digunakan dalam teori probabilitas dan memungkinkan Anda untuk secara signifikan menyederhanakan solusi sejumlah tugas. Mendapat keunggulan, metode yang disederhanakan tersebut berkaitan dengan fungsi linear; Namun, beberapa fungsi nonlinier dasar juga mengakui pendekatan serupa.

Pada saat ini kami akan menyajikan sejumlah teorema pada karakteristik numerik fungsi yang mewakili seluruhnya, alat yang sangat sederhana untuk menghitung karakteristik ini yang berlaku dalam berbagai kondisi.

1. Ekspektasi matematika non-acak

Properti yang didefinisikan cukup jelas; Dimungkinkan untuk membuktikannya, mengingat nilai non-acak sebagai bentuk pribadi acak, dengan satu nilai yang mungkin dengan unit probabilitas; Maka formula umum untuk harapan matematika:

.

2. Dispersi Nilai Non-Acak

Jika - nilai non-acak, maka

3. Mencapai nilai non-acak untuk tanda harapan matematika

, (10.2.1)

i.E., jumlah non-acak dapat dibuat untuk tanda harapan matematika.

Bukti.

a) untuk nilai yang terputus

b) untuk nilai-nilai kontinu

.

4. Melepaskan ukuran non-acak untuk tanda dispersi dan rata-rata penyimpangan kuadratik

Jika - nilai non-acak, dan - acak, lalu

, (10.2.2)

i.E, jumlah non-acak dapat dibuat untuk tanda dispersi, menghapusnya di kotak.

Bukti. Menurut definisi dispersi

Akibat wajar

,

i.E. Nilai non-acak dapat dibuat untuk tanda rata-rata penyimpangan kuadratik dari nilai absolutnya. Bukti kita dapatkan, menghapus akar kuadrat dari rumus (10.2.2) dan mengingat S.K.O. - Nilai positif yang signifikan.

5. Matematika menunggu jumlah variabel acak

Kami membuktikan bahwa untuk dua variabel acak dan

i.E. Ekspektasi matematika jumlah dari dua variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematika mereka.

Properti ini dikenal sebagai teorema penambahan harapan matematika.

Bukti.

a) Biarkan itu menjadi sistem variabel acak yang terputus. Berlaku untuk jumlah variabel acak rumus umum (10.1.6) untuk ekspektasi matematika fungsi dua argumen:

.

Ho tidak mewakili apa-apa selain probabilitas penuh bahwa nilai akan mengambil nilai:

;

karenanya,

.

Demikian pula, kami membuktikannya

,

dan teorema terbukti.

b) Biarkan sistem variabel acak berkelanjutan. Oleh Formula (10.1.7)

. (10.2.4)

Kami mengubah yang pertama dari integral (10.2.4):

;

demikian pula

,

dan teorema terbukti.

Seharusnya secara spesifik mencatat bahwa teorema dari penambahan ekspektasi matematika berlaku untuk setiap variabel acak - baik tergantung maupun independen.

Teorema penambahan harapan matematika dirangkum oleh jumlah istilah yang sewenang-wenang:

, (10.2.5)

i.E. Ekspektasi matematika jumlah dari beberapa variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematika mereka.

Untuk membuktikan, itu cukup untuk menerapkan metode induksi lengkap.

6. Ekspektasi matematika fungsi linear

Pertimbangkan fungsi linear dari beberapa argumen acak:

di mana - koefisien non-acak. Kami membuktikannya

, (10.2.6)

i.E. Ekspektasi matematis dari fungsi linier sama dengan fungsi linier yang sama dari ekspektasi matematika argumen.

Bukti. Menggunakan teorema penambahan m. Oh. dan aturan besarnya yang tidak dapat dipahami untuk tanda m. oh., saya mengerti:

.

7. Tampilanep.sIAH Jumlah variabel acak

Varians jumlah dari dua variabel acak sama dengan jumlah dispersi mereka ditambah momen korelasi ganda:

Bukti. Menunjukkan

Dengan pembentukan pembentukan ekspektasi matematika

Kami beralih dari variabel acak ke nilai-nilai terpusat yang sesuai. Mengurangi kendala realstatha kesetaraan (10.2.8) kesetaraan (10.2.9), kami memiliki:

Menurut definisi dispersi

q.E.D.

Formula (10.2.7) Untuk varians dari jumlah dapat digeneralisasi ke sejumlah komponen:

, (10.2.10)

di mana - momen korelasi kuantitas, tanda di bawah jumlah menunjukkan bahwa penjumlahan berlaku untuk semua kemungkinan kombinasi variabel acak berpasangan .

Buktinya mirip dengan yang sebelumnya dan mengikuti dari rumus untuk kuadrat polinomial.

Formula (10.2.10) dapat direkam dalam bentuk lain:

, (10.2.11)

di mana jumlah ganda berlaku untuk semua elemen matriks korelasi dari sistem nilai mengandung kedua momen dan dispersi korelasi.

Jika semua variabel acak Termasuk dalam sistem yang tidak berkorelasi (I.E., AT), Formula (10.2.10) mengambil formulir:

, (10.2.12)

i.E. Dispersi dari jumlah variabel acak yang tidak berkorelasi sama dengan jumlah dispersi komponen.

Ketentuan ini dikenal sebagai Teorema Penambahan Dispersion.

8. dispersi fungsi linier

Pertimbangkan fungsi linear dari beberapa variabel acak.

di mana - nilai non-acak.

Kami membuktikan bahwa dispersi fungsi linier ini diungkapkan oleh formula

, (10.2.13)

di mana momen korelasi kuantitas ,.

Bukti. Kami memperkenalkan penunjukan:

. (10.2.14)

Menerapkan ke bagian kanan ekspresi (10.2.14), rumus (10.2.10) untuk dispersi jumlah dan mengingat itu, kami memperoleh:

di mana momen korelasi kuantitas:

.

Hitung momen ini. Kita punya:

;

demikian pula

Mengganti ekspresi ini dalam (10.2.15), kami tiba di Formula (10.2.13).

Dalam kasus tertentu, ketika semua nilai Formula (10.2.13) terkenal, Formula:

, (10.2.16)

i.E. Dispersi dari fungsi linear variabel acak yang tidak berkorelasi sama dengan jumlah karya kuadrat koefisien pada dispersi argumen yang sesuai.

9. Ekspektasi Matematika dari karya variabel acak

Ekspektasi matematika dari pekerjaan dua variabel acak sama dengan produk dari ekspektasi matematika mereka ditambah momen korelasi:

Bukti. Kami akan melanjutkan dari definisi momen korelasi:

Kami mengubah ekspresi ini menggunakan sifat-sifat harapan matematika:

itu jelas sama dengan formula (10.2.17).

Jika variabel acak tidak berkorelasi, maka rumus (10.2.17) mengambil formulir:

i.E. Ekspektasi matematika dari pekerjaan dua variabel acak yang tidak berkorelasi sama dengan produk dari ekspektasi matematika mereka.

Ketentuan ini dikenal sebagai teorema melipatgandakan ekspektasi matematika.

Formula (10.2.17) tidak lebih dari ekspresi momen sentral campuran kedua dari sistem melalui ekspektasi awal dan matematika campuran kedua:

. (10.2.19)

Ungkapan ini sering digunakan dalam praktik ketika menghitung momen korelasi mirip dengan bagaimana dispersi untuk satu variabel acak sering dihitung melalui momen awal kedua dan ekspektasi matematika.

Teorema penggandaan ekspektasi matematika digeneralisasi ke jumlah inhibitor sewenang-wenang, hanya dalam hal ini, itu tidak cukup untuk penerapannya bahwa nilai-nilai tidak berkorelasi, dan harus diterapkan pada nol dan beberapa yang tertinggi Momen campuran, jumlah yang tergantung pada jumlah anggota dalam pekerjaan. Kondisi ini jelas dipenuhi dalam independensi variabel acak yang termasuk dalam pekerjaan. Pada kasus ini

, (10.2.20)

i.E. Ekspektasi matematika dari karya variabel acak independen sama dengan produk dari ekspektasi matematika mereka.

Posisi ini mudah dibuktikan dengan metode induksi lengkap.

10. Dispersi karya variabel acak independen

Kami membuktikan bahwa untuk nilai-nilai independen

Bukti. Menunjukkan. Menurut definisi dispersi

Karena nilai-nilai independen, dan

Dengan nilai-nilai independen juga mandiri; karenanya,

,

Tetapi tidak ada apa-apa selain momen awal kedua besarnya, dan, oleh karena itu, diekspresikan melalui dispersi:

;

demikian pula

.

Mengganti ekspresi ini dalam formula (10.2.22) dan memimpin keanggotaan tersebut, dan kami tiba di Formula (10.2.21).

Dalam kasus ini ketika variabel acak berpusat dikalikan (nilai dengan ekspektasi matematika sama dengan nol), rumus (10.2.21) mengambil formulir:

, (10.2.23)

i.E. Dispersi Pekerjaan variabel acak yang berpusat independen sama dengan produk dispersi mereka.

11. Momen yang lebih tinggi dari variabel acak

Dalam beberapa kasus, perlu untuk menghitung momen tertinggi dari jumlah variabel acak independen. Mari membuktikan beberapa hubungan di sini.

1) Jika nilai-nilai independen, maka

Bukti.

dari mana teorema perkalian harapan matematika

Tetapi momen tengah pertama untuk nilai apa pun adalah nol; Dua anggota menengah diterapkan pada nol dan rumus (10.2.24) terbukti.

Rasio (10.2.24) dengan metode induksi mudah dirangkum oleh jumlah istilah independen yang sewenang-wenang:

. (10.2.25)

2) momen tengah keempat dari jumlah dari dua variabel acak independen dinyatakan oleh rumus

dimana - nilai dispersi dan.

Bukti sama sekali mirip dengan yang sebelumnya.

Metode induksi lengkap mudah untuk membuktikan generalisasi formula (10.2.26) ke jumlah istilah independen yang sewenang-wenang.

Konsep ekspektasi matematika dapat dipertimbangkan pada contoh dengan casting cube. Dengan setiap lemparan, kacamata bersinar diperbaiki. Untuk ekspresi mereka, nilai-nilai alami digunakan dalam kisaran 1 - 6.

Setelah sejumlah lemparan tertentu, menggunakan perhitungan yang tidak kompleks, Anda dapat menemukan nilai aritmatika rata-rata dari poin yang turun.

Juga, seperti hilangnya nilai rentang apa pun, nilai ini akan acak.

Dan jika Anda menambah jumlah tembakan beberapa kali? Untuk jumlah besar lemparan, nilai aritmatika rata-rata poin akan mendekati angka spesifik yang nama ekspektasi matematika dalam teori probabilitas akan didekati.

Jadi, di bawah ekspektasi matematika itu dipahami sebagai nilai rata-rata variabel acak. Indikator ini juga dapat disajikan sebagai jumlah tertimbang nilai dari nilai yang mungkin.

Konsep ini memiliki beberapa sinonim:

• berarti;
• nilai rata-rata;
• tingkat tren pusat;
• momen pertama.

Dengan kata lain, tidak ada yang berbeda di mana nilai varians acak didistribusikan.

Di berbagai bidang aktifitas manusia Pendekatan untuk memahami ekspektasi matematika akan agak berbeda.

Itu dapat dianggap sebagai:

• manfaat rata-rata yang berasal dari adopsi keputusan dalam kasus ketika keputusan semacam itu dipertimbangkan dari sudut pandang teori jumlah besar;
• jumlah kemenangan atau kerugian yang mungkin (teori judi), dirancang rata-rata untuk masing-masing tarif. Dalam bahasa gaul, mereka terdengar seperti "keuntungan dari pemain" (positif untuk pemain) atau "keunggulan kasino" (negatif untuk pemain);
• persentase keuntungan yang diterima dari menang.

Materialisasi tidak wajib untuk semua variabel acak. Sangat hilang bagi mereka yang memiliki perbedaan antara jumlah atau integral yang relevan.

Sifat harapan matematika

Seperti halnya parameter statistik, harapan matematika memiliki sifat:

Formula utama untuk harapan matematika

Perhitungan ekspektasi matematika dapat dilakukan untuk kedua variabel acak yang ditandai dengan kontinuitas (rumus a) dan diskritens (rumus b):

1. M (x) \u003d σi \u003d 1nxi⋅pi, di mana xi adalah nilai variabel acak, probabilitas PI:
2. M (x) \u003d ∫ + ∞-∞f (x) ⋅xdx, di mana f (x) adalah kepadatan probabilitas yang diberikan.

Contoh menghitung ekspektasi matematika

Contoh A.

Apakah mungkin untuk mempelajari pertumbuhan rata-rata gnome dalam dongeng tentang salju putih. Diketahui bahwa masing-masing dari 7 gnome memiliki ketinggian tertentu: 1.25; 0,98; 1.05; 0,71; 0.56; 0,95 dan 0,81 m.

Algoritma perhitungan cukup sederhana:

• kami menemukan jumlah dari semua nilai indikator pertumbuhan (nilai acak):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• jumlah yang dihasilkan dibagi dengan jumlah gnome:
  6,31:7=0,90.

Dengan demikian, pertumbuhan rata-rata gnome dalam dongeng adalah 90 cm. Dengan kata lain, matematika menunggu pertumbuhan gnome.

Formula Kerja - M (x) \u003d 4 0.2 + 6 0.3 + 10 0,5 \u003d 6

Implementasi praktis dari ekspektasi matematika

Untuk menghitung indikator statistik ekspektasi matematika yang digunakan di berbagai bidang kegiatan praktis. Pertama tama kita sedang berbicara Tentang bidang komersial. Lagi pula, pengenalan guigen indikator ini dikaitkan dengan definisi peluang yang mungkin menguntungkan atau berlawanan dengan yang tidak menguntungkan, untuk beberapa peristiwa.

Parameter ini banyak digunakan untuk menilai risiko, terutama jika kita berbicara tentang investasi keuangan.
Jadi, dalam kewirausahaan, perhitungan ekspektasi matematika bertindak sebagai metode untuk menilai risiko ketika menghitung harga.

Juga, indikator ini dapat digunakan ketika menghitung efektivitas kegiatan ini atau lainnya, misalnya, pada perlindungan tenaga kerja. Berkat dia, dimungkinkan untuk menghitung kemungkinan suatu peristiwa.

Lingkup lain dari parameter ini adalah manajemen. Ini juga dapat dihitung saat mengendalikan kualitas produk. Misalnya, dengan bantuan tikar. Menunggu Anda dapat menghitung jumlah yang memungkinkan dari bagian yang rusak.

Tikar yang sangat diperlukan. Lokasi ternyata merupakan pemrosesan statistik yang diperoleh selama penelitian ilmiah HASIL. Ini memungkinkan Anda untuk menghitung kemungkinan hasil eksperimen atau penelitian yang diinginkan atau tidak diinginkan, tergantung pada tingkat pencapaian tujuan. Bagaimanapun, pencapaiannya dapat dikaitkan dengan kemenangan dan manfaat, dan itu bukan prestasi - sebagai kerugian atau rugi.

Penggunaan ekspektasi matematika untuk forex

Aplikasi praktis dari parameter statistik ini dimungkinkan ketika melakukan operasi di pasar valuta asing. Dengan itu, Anda dapat menganalisis keberhasilan transaksi perdagangan. Apa peningkatan nilai penantian menunjukkan peningkatan kesuksesan mereka.

Penting juga untuk diingat bahwa ekspektasi matematika tidak boleh dianggap sebagai satu-satunya parameter statistik yang digunakan untuk menganalisis pekerjaan pedagang. Penggunaan beberapa parameter statistik bersama dengan nilai rata-rata meningkatkan keakuratan analisis analisis kadang-kadang.

Parameter ini telah membuktikan dirinya dengan pemantauan pengamatan akun perdagangan. Berkat dia, penilaian cepat pekerjaan yang dilakukan pada rekening deposito dilakukan. Dalam kasus-kasus di mana aktivitas pedagang berhasil dan itu menghindari kerugian, tidak disarankan untuk menikmati perhitungan ekspektasi matematika. Dalam kasus-kasus ini, risiko tidak diperhitungkan, yang mengurangi efektivitas analisis.

Studi yang dilakukan pedagang taktik menunjukkan bahwa:

• ternyata taktik yang paling efektif berbasis di pintu masuk acak;
• taktik paling efektif - taktik berdasarkan input terstruktur.

Dalam mencapai hasil positif, itu tidak kalah pentingnya:

• taktik manajemen modal;
• strategi keluaran.

Menggunakan indikator seperti itu sebagai harapan matematika, dapat diasumsikan keuntungan apa yang akan menjadi kerugian saat menempel 1 dolar. Diketahui bahwa indikator ini, dihitung untuk semua game yang dipraktikkan di kasino, mendukung institusi. Inilah yang memungkinkan Anda menghasilkan uang. Dalam kasus serangkaian permainan yang panjang, probabilitas uang rugi oleh klien meningkat secara signifikan.

Pemain profesional terbatas pada interval sementara kecil, yang meningkatkan kemungkinan kemenangan dan mengurangi risiko kalah. Pola yang sama diamati dalam implementasi operasi investasi.

Investor dapat memperoleh jumlah yang signifikan dengan menunggu dan membuat sejumlah besar transaksi untuk interval waktu kecil.

Menunggu dapat dianggap sebagai perbedaan antara laba persentase laba (PW) pada laba rata-rata (AW) dan probabilitas kerugian (PL) per kerugian rata-rata (AL).

Sebagai contoh, Anda dapat mempertimbangkan hal-hal berikut: Posisi - 12,5 ribu dolar, portofolio - 100 ribu dolar, risiko setoran - 1%. Profitabilitas transaksi adalah 40% kasus dengan laba rata-rata 20%. Dalam kasus kerugian, kerugian rata-rata adalah 5%. Perhitungan ekspektasi matematika untuk transaksi memberikan nilai $ 625.

Teori probabilitas adalah bagian khusus dari matematika, yang hanya belajar oleh siswa dari lembaga pendidikan yang lebih tinggi. Apakah Anda suka perhitungan dan formula? Anda tidak takut dengan prospek kenalan dengan distribusi normal, entropi ansambel, ekspektasi matematika dan dispersi variabel acak diskrit? Maka subjek ini akan sangat menarik. Mari kita berkenalan dengan beberapa konsep dasar penting dari bagian ilmu pengetahuan ini.

Ingat dasar-dasarnya

Bahkan jika Anda ingat konsep-konsep paling sederhana dari teori probabilitas, jangan abaikan paragraf pertama artikel. Faktanya adalah bahwa tanpa pemahaman yang jelas tentang dasar-dasar yang Anda tidak akan dapat bekerja dengan formula yang dipertimbangkan di bawah ini.

Jadi, ada beberapa peristiwa acak, eksperimen tertentu. Sebagai hasil dari tindakan, kita bisa mendapatkan beberapa hasil - beberapa dari mereka lebih umum, yang lain - lebih jarang. Probabilitas suatu peristiwa adalah rasio jumlah hasil yang sebenarnya diperoleh dari jenis yang sama untuk total nomor Bisa jadi. Hanya dengan mengetahui definisi klasik dari konsep ini, Anda dapat melanjutkan ke studi ekspektasi matematika dan dispersi variabel acak berkelanjutan.

Rata-rata

Masih di sekolah dalam pelajaran matematika, Anda mulai bekerja dengan aritmatika rata-rata. Konsep ini banyak digunakan dalam teori probabilitas, dan oleh karena itu tidak mungkin untuk memintas pihak. Hal utama untuk kita saat ini Itu adalah bahwa kita akan menghadapinya dalam rumus harapan matematika dan dispersi variabel acak.

Kami memiliki urutan angka dan ingin menemukan rata-rata aritmatika. Semua yang diperlukan dari kami adalah meringkas semua yang tersedia dan dibagi dengan jumlah elemen dalam urutan. Biarkan kita memiliki angka dari 1 hingga 9. Jumlah elemen akan sama dengan 45, dan nilai ini kita bagi dengan 9. Jawab: - 5.

Penyebaran

Berbicara dengan bahasa ilmiah, dispersi adalah kuadrat rata-rata penyimpangan dari tanda-tanda yang diperoleh dari fitur dari aritmatika rata-rata. Ini ditunjukkan oleh satu judul huruf Latin D. Apa yang Anda butuhkan untuk menghitungnya? Untuk setiap elemen urutan, kami menghitung perbedaan antara angka yang ada dan rata-rata aritmatika dan didirikan ke dalam alun-alun. Nilai-nilai akan berubah persis sama dengan peristiwa yang dipertimbangkan oleh kita. Selanjutnya, kami merangkum semua yang diperoleh dan dibagi dengan jumlah elemen dalam urutan. Jika kita memiliki lima hasil, kita membagi lima.

Dispersi memiliki sifat-sifat yang perlu diingat untuk diterapkan saat menyelesaikan tugas. Misalnya, dengan peningkatan variabel acak pada x kali, dispersi meningkat menjadi X dalam waktu persegi (I.E. x * x). Itu tidak pernah terjadi kurang dari nol dan tidak tergantung pada pergeseran nilai ke nilai yang sama di sisi besar atau lebih kecil. Selain itu, untuk tes independen, jumlah dispersi sama dengan jumlah dispersi.

Sekarang kita perlu mempertimbangkan contoh dispersi varians acak diskrit dan harapan matematika.

Misalkan kami menghabiskan 21 eksperimen dan menerima 7 hasil yang berbeda. Masing-masing dari mereka yang kita amati, masing-masing, 1,2,2,3,4,4 dan 5 kali. Apa perbedaan dispersi?

Pertama, pertimbangkan rata-rata aritmatika: jumlah elemen, tentu saja, sama dengan 21. Kami membaginya menjadi 7, menghasilkan 3. Sekarang dari setiap jumlah urutan awal akan dikurangi 3, setiap nilai didirikan ke dalam kuadrat , dan hasilnya akan menambah bersama. Ternyata 12. Sekarang kita harus membagi jumlah pada jumlah elemen, dan itu akan tampak, semuanya. Tapi ada hambatan! Mari kita bahas.

Ketergantungan pada jumlah eksperimen

Ternyata ketika menghitung dispersi dalam penyebut mungkin merupakan salah satu dari dua angka: baik n atau n-1. Di sini n adalah jumlah eksperimen atau jumlah elemen dalam urutan (yang pada dasarnya sama). Apa yang tergantung?

Jika jumlah tes diukur dengan ratusan, maka kita harus dimasukkan ke dalam N. Denominator jika unit, maka N-1. Para ilmuwan perbatasan memutuskan untuk memegang secara simbolis: hari ini berlalu sesuai dengan angka 30. Jika kami menghabiskan kurang dari 30 percobaan, kami akan membagi jumlah pada N-1, dan jika lebih - kemudian pada N.

Sebuah tugas

Mari kita kembali ke contoh kita memecahkan masalah dispersi dan harapan matematika. Kami memperoleh angka menengah 12, yang diperlukan untuk membagi pada N atau N-1. Karena eksperimen kami melakukan 21, yang kurang dari 30, pilih opsi kedua. Jadi, jawabannya: dispersi adalah 12/2 \u003d 2.

Nilai yang diharapkan

Mari kita beralih ke konsep kedua bahwa kita harus mempertimbangkan artikel ini. Ekspektasi matematika adalah hasil dari penambahan semua hasil yang mungkin, dikalikan dengan probabilitas yang sesuai. Penting untuk memahami bahwa nilai yang diperoleh, serta hasil perhitungan dispersi, ternyata hanya sekali untuk tugas keseluruhan, tidak peduli bagaimana hasilnya tidak dipertimbangkan.

Rumus ekspektasi matematika cukup sederhana: Kami mengambil hasilnya, kalikan pada probabilitasnya, kami menambahkan yang sama untuk hasil kedua, ketiga, dll. Semua yang terkait dengan konsep ini dihitung mudah. Misalnya, jumlah matchmaker sama dengan jumlah jumlah. Untuk pekerjaan itu relevan sama. Operasi sederhana semacam itu memungkinkan untuk melaksanakan jauh dari setiap nilai dalam teori probabilitas. Mari kita ambil tugas dan anggap pentingnya konsep yang kita pelajari sekaligus. Selain itu, kami terganggu oleh teori - saatnya berlatih.

Satu lagi contohnya

Kami menghabiskan 50 tes dan menerima 10 jenis hasil - angka dari 0 hingga 9 - muncul dalam berbagai persentase. Ini, masing-masing: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Ingatlah bahwa untuk mendapatkan probabilitas, perlu untuk membagi nilai dalam persen per 100. Dengan demikian, kami memperoleh 0,02; 0,1, dll. Bayangkan untuk dispersi varians acak dan contoh ekspektasi matematika dari solusi untuk masalah tersebut.

Rata-rata aritmatika dihitung oleh formula yang saya ingat dari sekolah yang lebih muda: 50/10 \u003d 5.

Sekarang kita akan mentransfer probabilitas ke jumlah hasil "berkeping-keping" sehingga lebih mudah dihitung. Kami memperoleh 1, 5, 2, 7, 1, 8, 8, 5, 7, 1, 1, 9, 3, 8, 5, dan 9. Dari setiap nilai yang diperoleh, aritmatika rata-rata dikurangi, setelah itu Setiap hasil yang diperoleh didirikan ke dalam alun-alun. Lihat bagaimana melakukan ini, pada contoh elemen pertama: 1 - 5 \u003d (-4). Berikutnya: (-4) * (-4) \u003d 16. Untuk nilai yang tersisa, lakukan operasi ini sendiri. Jika Anda melakukan semuanya dengan benar, maka setelah tambahan Anda mendapatkan 90.

Terus menghitung ekspektasi dispersi dan matematika, membagi 90 pada N. Mengapa kita memilih N, dan bukan N-1? Itu benar, karena jumlah eksperimen yang dilakukan melebihi 30. Jadi: 90/10 \u003d 9. Dispersi yang kami terima. Jika Anda memiliki nomor lain, jangan putus asa. Kemungkinan besar, Anda membuat kesalahan dangkal saat menghitung. Periksa tertulis, dan pasti semuanya akan jatuh ke tempatnya.

Akhirnya, ingat formula ekspektasi. Kami tidak akan memberikan semua perhitungan, hanya menulis jawaban yang dapat Anda tangani, dengan menyelesaikan semua prosedur yang diperlukan. Materialisasi akan sama dengan 5.48. Ingat hanya cara melakukan operasi, pada contoh elemen pertama: 0 * 0,02 + 1 * 0,1 ... dan seterusnya. Seperti yang Anda lihat, kami hanya melipatgandakan nilai hasil probabilitasnya.

Deviasi

Konsep lain, terkait erat dengan ekspektasi dispersi dan matematika - rata-rata penyimpangan kuadratik. Ini ditunjukkan oleh huruf SD Latin, atau huruf kecil Yunani "Sigma". Konsep ini menunjukkan seberapa rata-rata nilai dari tanda pusat dibelokkan. Untuk menemukan nilainya, Anda perlu menghitung akar kuadrat dari dispersi.

Jika Anda membangun bagan distribusi normal dan ingin melihat langsung di atasnya deviasi kuadratik, ini dapat dilakukan dalam beberapa tahap. Ambil setengah gambar ke kiri atau kanan mode (nilai pusat), lakukan tegak lurus terhadap sumbu horizontal sehingga area angka telah sama. Ukuran segmen antara tengah distribusi dan proyeksi yang dihasilkan pada sumbu horizontal akan menjadi penyimpangan kuadrat sekunder.

Perangkat lunak

Seperti yang dapat dilihat dari deskripsi formula dan contoh-contoh yang disajikan, perhitungan dispersi dan ekspektasi matematika bukanlah prosedur paling sederhana dari sudut pandang aritmatika. Agar tidak menghabiskan waktu, masuk akal untuk menggunakan program yang digunakan pada yang tertinggi lembaga pendidikan - Ini disebut "R". Ini memiliki fungsi yang memungkinkan Anda untuk menghitung nilai-nilai untuk banyak konsep dari teori statistik dan probabilitas.

Misalnya, Anda menentukan nilai vektor. Ini dilakukan sebagai berikut: vektor<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.

Akhirnya

Dispersi dan ekspektasi matematika adalah yang sulit untuk menghitung hal lain. Di tahun utama kuliah di universitas, mereka sudah dipertimbangkan pada bulan-bulan pertama studi subjek. Karena kesalahpahaman tentang konsep dan ketidakmampuan paling sederhana untuk menghitungnya, banyak siswa segera mulai tertinggal di belakang program dan kemudian mendapat nilai buruk berdasarkan hasil sesi, yang membuat mereka beasiswa.

Berlatihlah setidaknya satu minggu setengah jam per hari, menyelesaikan tugas yang mirip dengan yang disajikan dalam artikel ini. Kemudian, pada kontrol apa pun pada teori probabilitas, Anda akan menangani contoh tanpa tip dan buaian asing.

Akan ada tugas untuk solusi independen yang dapat Anda lihat jawabannya.

Ekspektasi matematika dan dispersi - paling sering diterapkan karakteristik numerik dari variabel acak. Mereka mengkarakterisasi fitur distribusi paling penting: posisinya dan tingkat dispersi. Ekspektasi matematis sering disebut nilai sedang. variabel acak. Varians acak - karakteristik dispersi, varians acak Dekat harapan matematisnya.

Dalam banyak tugas, praktiknya selesai, karakteristik lengkap dari variabel acak - undang-undang distribusi - atau tidak dapat diperoleh, atau tidak diperlukan sama sekali. Dalam kasus ini, dibatasi oleh perkiraan deskripsi variabel acak menggunakan karakteristik numerik.

Ekspektasi matematika dari variabel acak diskrit

Mari kita datang ke konsep harapan matematika. Biarkan massa beberapa zat didistribusikan antara titik sumbu absis x.1 , x.2 , ..., x.n.. Dalam hal ini, setiap titik material memiliki massa yang sesuai dengan probabilitas p.1 , p.2 , ..., p.n.. Diperlukan untuk memilih satu titik pada sumbu absis, yang mengkarakterisasi posisi seluruh sistem poin material, dengan mempertimbangkan massa mereka. Secara alami, seperti halnya, ambil pusat sistem massa poin material. Ini adalah nilai tertimbang rata-rata dari variabel acak. X.yang merupakan absis dari setiap titik x.sAYA. Itu memasuki "berat" sama dengan probabilitas yang sesuai. Nilai rata-rata variabel acak yang diperoleh X. Ini disebut harapan matematika.

Ekspektasi matematika dari variabel acak diskrit adalah jumlah karya dari semua nilai yang mungkin pada kemungkinan nilai-nilai ini:

Contoh 1. Lotere win-win diselenggarakan. Ada 1000 kemenangan, yang 400 adalah 10 rubel. 300 - 20 rubel. 200 - 100 rubel. dan 100 - 200 rubel. Berapa ukuran win rata-rata untuk membeli satu tiket?

Keputusan. Kemenangan rata-rata kita akan menemukan jika jumlah total kemenangan, yang sama dengan 10 * 400 + 20 * 300 + 100 * 200 + 200 * 100 \u003d 50.000 rubel, bagi dengan 1000 (total kemenangan). Kemudian kita mendapatkan 50000/1000 \u003d 50 rubel. Tetapi ekspresi untuk perhitungan pemenang rata-rata dapat diwakili sebagai berikut:

Di sisi lain, dalam kondisi ini, jumlah kemenangan adalah nilai acak yang dapat mengambil nilai 10, 20, 100 dan 200 rubel. dengan probabilitas sama dengan 0,4, masing-masing; 0,3; 0,2; 0,1. Akibatnya, kemenangan rata-rata yang diharapkan sama dengan jumlah ukuran produk dari kemenangan pada probabilitas penerimaan mereka.

Contoh 2. Penerbit memutuskan untuk menerbitkan buku baru. Ini akan menjual buku ini untuk 280 rubel, yang 200 akan menerima dirinya, 50 - toko buku dan 30 - penulis. Tabel ini memberikan informasi tentang biaya penerbitan buku dan kemungkinan menjual sejumlah salinan buku.

Temukan penerbit laba yang diharapkan.

Keputusan. Magnitude acak "laba" sama dengan perbedaan pendapatan dari penjualan dan biaya biaya. Misalnya, jika 500 eksemplar buku dijual, maka pendapatan dari penjualan sama dengan 200 * 500 \u003d 100000, dan biaya edisi adalah 225.000 rubel. Dengan demikian, penerbit mengancam kerugian 125.000 rubel. Tabel berikut merangkum nilai yang diharapkan dari variabel acak - laba:

Jumlah	Keuntungan x.sAYA.	Kemungkinan p.sAYA.	x.sAYA. p.sAYA.
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Total:		1,00	25000

Dengan demikian, kami mendapatkan ekspektasi matematika atas keuntungan penerbit:

.

Contoh 3. Probabilitas memukul satu tembakan p. \u003d 0,2. Tentukan biaya aliran yang memberikan ekspektasi matematika terhadap jumlah hit yang sama dengan 5.

Keputusan. Dari formula yang sama untuk ekspektasi yang kami gunakan sejauh ini, Express x. - Konsumsi kerang:

.

Contoh 4. Tentukan harapan matematika dari variabel acak x. Jumlah hit di tiga tembakan, jika probabilitas memukul setiap tembakan p. = 0,4 .

Kiat: kemungkinan nilai acak untuk ditemukan bernoulli Formula. .

Sifat harapan matematika

Pertimbangkan sifat-sifat harapan matematika.

Properti 1.Ekspektasi matematika dari nilai permanen sama dengan konstan ini:

Properti 2.Pengganda permanen dapat dibuat untuk tanda harapan matematika:

Properti 3.Ekspektasi matematika dari jumlah (perbedaan) variabel acak sama dengan jumlah (perbedaan) dari ekspektasi matematika mereka:

Properti 4.Ekspektasi matematika dari karya variabel acak sama dengan produk dari ekspektasi matematika mereka:

Properti 5.Jika semua nilai variabel acak X. Kurangi (perbesar) pada nomor yang sama DARIIni akan mengurangi harapan matematika (akan meningkat) pada nomor yang sama:

Ketika Anda tidak dapat terbatas pada harapan matematika

Dalam kebanyakan kasus, hanya harapan matematika yang tidak dapat mencirikan jumlah acak.

Biarkan variabel acak X. dan Y. ditentukan oleh undang-undang distribusi berikut:

Nilai X.	Kemungkinan
-0,1	0,1
-0,01	0,2
0	0,4
0,01	0,2
0,1	0,1

Nilai Y.	Kemungkinan
-20	0,3
-10	0,1
0	0,2
10	0,1
20	0,3

Ekspektasi matematika dari nilai-nilai ini adalah sama - nol sama:

Namun, sifat distribusi berbeda. Nilai acak. X. hanya dapat mengambil nilai yang sedikit berbeda dari harapan matematika, tetapi nilai acak Y. Dapat mengambil nilai secara signifikan menyimpang dari ekspektasi matematika. Contoh yang serupa: Gaji rata-rata tidak memungkinkan untuk menilai bobot spesifik pekerja yang tinggi dan rendah. Dengan kata lain, menurut harapan matematika, tidak mungkin untuk menilai penyimpangan apa deviasi, setidaknya rata-rata, dimungkinkan. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan dispersi variabel acak.

Variabel acak dispersi dispersi

Penyebaran Variabel acak diskrit X. Ini disebut ekspektasi matematika dari kuadrat penyimpangannya dari harapan matematika:

Deviasi kuadratik rata-rata variabel acak X. Ini disebut nilai aritmatika dari akar kuadrat dari dispersi-nya:

.

Contoh 5.Menghitung dispersi dan penyimpangan kuadratik sedang dari variabel acak X. dan Y., undang-undang distribusinya yang ditunjukkan pada tabel di atas.

Keputusan. Ekspektasi matematika variabel acak X. dan Y.Bagaimana ditemukan di atas adalah nol. Sesuai dengan rumus dispersi E.(h.)=E.(y.) \u003d 0 GET:

Kemudian rata-rata penyimpangan kuadratik variabel acak X. dan Y. dandan

.

Dengan demikian, dengan harapan matematika yang sama akan dispersi variabel acak X. Sangat kecil, tetapi variabel acak Y. - signifikan. Ini adalah konsekuensi dari perbedaan dalam distribusi mereka.

Contoh 6. Investor memiliki 4 proyek investasi alternatif. Tabel merangkum data pada laba yang diharapkan dalam proyek-proyek ini dengan probabilitas yang sesuai.

Proyek 1.	Proyek 2.	Proyek 3.	Proyek 4.
500, P.=1	1000, P.=0,5	500, P.=0,5	500, P.=0,5
	0, P.=0,5	1000, P.=0,25	10500, P.=0,25
		0, P.=0,25	9500, P.=0,25

Temukan untuk setiap ekspektasi matematika alternatif, dispersi dan penyimpangan kuadrat sekunder.

Keputusan. Kami menunjukkan bagaimana nilai-nilai ini dihitung untuk alternatif ke-3:

Tabel merangkum nilai-nilai yang ditemukan untuk semua alternatif.

Semua alternatif adalah harapan matematika yang sama. Ini berarti bahwa dalam periode jangka panjang, setiap orang memiliki pendapatan yang sama. Standar deviasi dapat diartikan sebagai unit pengukuran risiko - daripada lebih, semakin besar risiko investasi. Seorang investor yang tidak menginginkan risiko besar akan memilih proyek 1, karena ia memiliki deviasi standar terkecil (0). Jika investor lebih suka risiko dan pendapatan yang lebih besar dalam waktu singkat, ia akan memilih proyek dengan deviasi standar terbesar - Project 4.

Sifat dispersion.

Kami memberikan sifat-sifat dispersi.

Properti 1.Dispersi nilai konstan adalah nol:

Properti 2.Pengganda permanen dapat dibuat untuk tanda dispersi, sambil menempatkannya di alun-alun:

.

Properti 3.Dispersi variabel acak sama dengan ekspektasi matematika kuadrat dari nilai ini, dari mana kuadrat dari ekspektasi matematika nilai dikurangkan:

,

dimana .

Properti 4.Dispersi dari jumlah (perbedaan) variabel acak sama dengan jumlah (perbedaan) dispersi mereka:

Contoh 7. Diketahui bahwa nilai acak diskrit X. Hanya perlu dua nilai: -3 dan 7. Selain itu, ekspektasi matematis diketahui: E.(X.) \u003d 4. Temukan dispersi variabel acak diskrit.

Keputusan. Diciptakan oleh p. probabilitas yang dengan nilai acak mengambil nilai x.1 = −3 . Maka probabilitas makna x.2 = 7 akan menjadi 1 - p. . Kami memperoleh persamaan untuk ekspektasi matematika:

E.(X.) = x.1 p. + x.2 (1 − p.) = −3p. + 7(1 − p.) = 4 ,

di mana Anda mendapatkan probabilitas: p. \u003d 0,3 dan 1 - p. = 0,7 .

Hukum distribusi variabel acak:

X.	−3	7
p.	0,3	0,7

Dispersi variabel acak ini dihitung dengan rumus dari properti dispersi 3:

D.(X.) = 2,7 + 34,3 − 16 = 21 .

Menemukan harapan matematika dari variabel acak sendiri, dan kemudian melihat keputusan

Contoh 8. Variabilitas acak diskrit X. Hanya mengambil dua nilai. Lebih dari nilai-nilai 3 dibutuhkan dengan probabilitas 0,4. Selain itu, dispersi variabel acak diketahui. D.(X.) \u003d 6. Temukan harapan matematika dari variabel acak.

Contoh 9. Di guci 6 putih dan 4 bola hitam. Dari URN diambil 3 bola. Jumlah bola putih di antara potongan bola adalah variabel acak diskrit X. . Temukan harapan matematika dan dispersi variabel acak ini.

Keputusan. Nilai acak. X. dapat mengambil nilai 0, 1, 2, 3. Probabilitas yang sesuai dengan mereka dapat dihitung oleh aturan penggandaan probabilitas . Hukum distribusi variabel acak:

X.	0	1	2	3
p.	1/30	3/10	1/2	1/6

Karenanya ekspektasi matematika dari variabel acak ini:

M.(X.) = 3/10 + 1 + 1/2 = 1,8 .

Dispersi variabel acak ini:

D.(X.) = 0,3 + 2 + 1,5 − 3,24 = 0,56 .

Harapan matematika dan dispersi variabel acak berkelanjutan

Untuk variabel acak berkelanjutan, interpretasi mekanis dari ekspektasi matematika akan mempertahankan makna yang sama: pusat massa untuk satu massa, didistribusikan terus menerus pada sumbu absis dengan kepadatan f.(x.). Tidak seperti nilai acak diskrit, yang memiliki fungsi argumen x.sAYA. Ini mengubah hoppy, dalam variabel acak berkelanjutan, argumen berubah secara terus menerus. Tetapi harapan matematika dari variabel acak berkelanjutan juga dikaitkan dengan nilai rata-rata.

Untuk menemukan harapan matematika dan dispersi variabel acak berkelanjutan, Anda perlu menemukan integral tertentu. . Jika fungsi kepadatan diberikan variabel acak berkelanjutan, maka secara langsung memasuki integrand. Jika fungsi distribusi probabilitas diberikan, maka, membedakannya, Anda perlu menemukan fungsi densitas.

Rata-rata aritmatika dari semua nilai yang memungkinkan dari variabel acak berkelanjutan disebut. harapan matematikadilambangkan atau.

Karakteristik numerik utama dari variabel acak diskrit dan berkelanjutan: ekspektasi matematika, dispersi dan deviasi kuadrate rata-rata. Sifat dan contoh mereka.

Undang-undang distribusi (fungsi distribusi dan sejumlah distribusi atau kepadatan iman) sepenuhnya menggambarkan perilaku variabel acak. Tetapi dalam sejumlah tugas, sudah cukup untuk mengetahui beberapa karakteristik numerik dari nilai yang diteliti (misalnya, nilai rata-rata dan kemungkinan deviasi darinya) untuk merespons dalam pikiran. Pertimbangkan karakteristik numerik utama dari variabel acak diskrit.

Definisi 7.1.Harapan matematikavariabel acak diskrit adalah jumlah nilai yang mungkin untuk probabilitas yang sesuai dengan mereka:

M.(H.) = h. 1 r. 1 + h. 2 r. 2 + … + x p p.(7.1)

Jika jumlah nilai acak yang mungkin tak terbatas, maka jika seri yang dihasilkan bertemu secara mutlak.

Catatan 1.Harapan matematika kadang-kadang disebut rata-rata tertimbangKarena kira-kira sama dengan rata-rata aritmatika yang diamati nilai variabel acak dengan sejumlah besar percobaan.

Catatan 2.Dari penentuan ekspektasi matematika, ia mengikuti bahwa nilainya tidak kurang dari nilai serendah mungkin dari variabel acak dan tidak lebih dari yang terbesar.

Catatan 3.Ekspektasi matematika dari variabel acak diskrit adalah nalesha.(konstan. Di masa depan, kita akan melihat bahwa memang benar untuk variabel acak berkelanjutan.

Contoh 1. Temukan ekspektasi matematika dari variabel acak H. - Jumlah bagian standar di antara ketiganya, dipilih dari pihak dalam 10 bagian, di antaranya adalah 2 cacat. Membuat sejumlah distribusi untuk H.. Dari ketentuan tugas itu mengikuti itu H. dapat mengambil nilai 1, 2, 3. Kemudian

Contoh 2. Tentukan harapan matematika dari variabel acak H. - Jumlah penutup koin sebelum penampilan pertama lambang. Nilai ini dapat mengambil jumlah nilai yang tak terbatas (banyak nilai yang mungkin ada banyak angka alami). Sejumlah distribusinya memiliki bentuk:

H.			…	p	…
r.	0,5	(0,5) 2	…	(0,5) P	…

+ (Saat menghitung, jumlah perkembangan geometrik yang menurun tak terhingga digunakan dua kali:, dari mana).

Sifat harapan matematika.

1) Harapan matematika konstan sama dengan yang paling konstan:

M.(DARI) = DARI.(7.2)

Bukti. Jika kita mempertimbangkan DARI sebagai nilai acak diskrit yang hanya mengambil satu nilai DARI Dengan probabilitas r. \u003d 1, kalau begitu M.(DARI) = DARI?1 = DARI.

2) Pengganda konstan dapat diserahkan untuk tanda harapan matematika:

M.(Sk.) = Cm.(H.). (7.3)

Bukti. Jika nilai acak H. Tetapkan sejumlah distribusi

Kemudian M.(Sk.) = Sk. 1 r. 1 + Sk. 2 r. 2 + … + Cx p r p = DARI( H. 1 r. 1 + h. 2 r. 2 + … + x p p.) = Cm.(H.).

Definisi 7.2.Dua variabel acak disebut independenJika hukum distribusi salah satu dari mereka tidak tergantung pada nilai lain yang diterima. Jika tidak, variabel acak tergantung.

Definisi 7.3.Nama produk dari variabel acak independen H. dan Y. Variabel acak XyNilai yang mungkin sama dengan karya-karya semua nilai yang mungkin. H. pada semua nilai yang mungkin Y.Dan probabilitas yang sesuai dari probabilitas faktor sama.

3) Ekspektasi matematis dari pekerjaan dua variabel acak independen sama dengan produk dari ekspektasi matematika mereka:

M.(Xy) = M.(X.)M.(Y.). (7.4)

Bukti. Untuk menyederhanakan perhitungan, kami akan membatasi diri pada kasus tersebut ketika H. dan Y. Hanya mengambil dua nilai yang mungkin:

Karenanya, M.(Xy) = x. 1 y. 1 ?p. 1 g. 1 + x. 2 y. 1 ?p. 2 g. 1 + x. 1 y. 2 ?p. 1 g. 2 + x. 2 y. 2 ?p. 2 g. 2 = y. 1 g. 1 (x. 1 p. 1 + x. 2 p. 2) + + y. 2 g. 2 (x. 1 p. 1 + x. 2 p. 2) = (y. 1 g. 1 + y. 2 g. 2) (x. 1 p. 1 + x. 2 p. 2) = M.(X.)?M.(Y.).

Catatan 1.Demikian pula, dimungkinkan untuk membuktikan properti ini untuk nilai-nilai faktor yang lebih mungkin.

Catatan 2. Property 3 berlaku untuk produk dari sejumlah variabel acak independen, yang dibuktikan dengan metode induksi matematika.

Definisi 7.4.Menentukan jumlah variabel acak H. dan Y. sebagai variabel acak X + y., kemungkinan nilai yang sama dengan jumlah masing-masing nilai yang mungkin. H. Dengan setiap nilai yang mungkin Y.; Probabilitas jumlah tersebut sama dengan karya-karya probabilitas ketentuan (untuk variabel acak dependen - probabilitas saja saja pada probabilitas bersyarat kedua).

4) Ekspektasi matematika jumlah dari dua variabel acak (tergantung atau independen) sama dengan jumlah ekspektasi matematika dari ketentuan persyaratan:

M. (X + Y.) = M. (X.) + M. (Y.). (7.5)

Bukti.

Kami akan kembali mempertimbangkan variabel acak yang diberikan oleh baris distribusi yang diberikan dalam bukti properti 3. Kemudian kemungkinan nilai X + Y.adalah h. 1 + w. 1 , h. 1 + w. 2 , h. 2 + w. 1 , h. 2 + w. 2. Menunjukkan probabilitas masing-masing, sebagai r. 11 , r. 12 , r. 21 I. r. 22. Temukan M.(H.+Y.) = (x. 1 + y. 1)p. 11 + (x. 1 + y. 2)p. 12 + (x. 2 + y. 1)p. 21 + (x. 2 + y. 2)p. 22 =

= x. 1 (p. 11 + p. 12) + x. 2 (p. 21 + p. 22) + y. 1 (p. 11 + p. 21) + y. 2 (p. 12 + p. 22).

Kami membuktikannya r. 11 + r. 22 = r. satu . Memang, suatu peristiwa yang terdiri dari itu X + Y.ambil nilai h. 1 + w. 1 atau h. 1 + w. 2 dan kemungkinan yang sama r. 11 + r. 22, bertepatan dengan acara itu, menyimpulkan itu H. = h. 1 (probabilitasnya - r. satu). Demikian pula, dermaga itu p. 21 + p. 22 = r. 2 , p. 11 + p. 21 = g. 1 , p. 12 + p. 22 = g. 2. Itu berarti

M.(X + Y.) = x. 1 p. 1 + x. 2 p. 2 + y. 1 g. 1 + y. 2 g. 2 = M. (X.) + M. (Y.).

Komentar. Dari properti 4 Ini mengikuti bahwa jumlah dari sejumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematika komponen.

Contoh. Temukan ekspektasi matematika atas jumlah poin yang dijatuhkan dengan melemparkan lima tulang.

Kami akan menemukan harapan matematika dari jumlah poin yang turun saat melempar satu tulang:

M.(H. 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) angka yang sama sama dengan ekspektasi matematika dari jumlah titik yang jatuh pada tulang apa pun. Akibatnya, oleh properti 4 M.(H.)=

Penyebaran.

Untuk memiliki gagasan tentang perilaku variabel acak, itu tidak cukup untuk hanya mengetahui harapan matematika. Pertimbangkan dua variabel acak: H. dan Y.ditentukan oleh distribusi formulir

H.
R.	0,1	0,8	0,1

Y.
P.	0,5	0,5

Temukan M.(H.) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M.(Y.) \u003d 0? 0,5 \u200b\u200b+ 100? 0.5 \u003d 50. Seperti yang dapat dilihat, ekspektasi mat-matical dari kedua nilai sama, tetapi jika untuk X M.(H.) Menjelaskan variabel acak yang tertunda, menjadi nilai yang paling mungkin (pada nilai-nilai lain yang sedikit berbeda dari 50), maka nilai-nilai Y. pada dasarnya off-yat dari M.(Y.). Akibatnya, bersama dengan harapan matematika, diinginkan untuk mengetahui berapa nilai varians acak yang menyimpang darinya. Karakteristik indikator ini berfungsi sebagai dispersi.

Definisi 7.5.Dispersi (hamburan)variabel acak disebut ekspektasi matematika dari kuadrat penyimpangannya dari ekspektasi matematisnya:

D.(X.) = M. (X - M.(X.)) ². (7.6)

Temukan dispersi variabel acak H. (Jumlah bagian standar di antara yang dipilih) dalam contoh 1 dari kuliah ini. Hitung nilai-nilai kuadrat deviasi masing-masing mungkin karena harapan matematika:

(1 - 2.4) 2 \u003d 1,96; (2 - 2.4) 2 \u003d 0,16; (3 - 2.4) 2 \u003d 0,36. Karenanya,

Catatan 1.Dalam menentukan dispersi, itu bukan penyimpangan dari rata-rata, dan alun-alunnya. Ini dilakukan sehingga penyimpangan tanda-tanda yang berbeda tidak mengimbangi satu sama lain.

Catatan 2.Dari definisi dispersi, ia mengikuti bahwa nilai ini hanya membutuhkan nilai-nilai non-negatif.

Catatan 3.Ada formula yang lebih nyaman untuk menghitung dispersi, keadilan yang terbukti dalam teorema berikut:

Teorema 7.1.D.(X.) = M.(X.²) - M.²( X.). (7.7)

Bukti.

Menggunakan apa M.(H.) - Nilai konstan, dan sifat-sifat ekspektasi matematika, kami mengubah rumus (7,6) ke pikiran:

D.(X.) = M.(X - M.(X.))² = M.(X.² - 2. X? M.(X.) + M.²( X.)) = M.(X.² - 2 M.(X.)?M.(X.) + M.²( X.) =

= M.(X.² - 2 M.²( X.) + M.²( X.) = M.(X.²) - M.²( X.), yang diperlukan untuk membuktikan.

Contoh. Hitung dispersi variabel acak H. dan Y.dibahas pada awal bagian ini. M.(H.) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M.(Y.) \u003d (0 2? 0,5 \u200b\u200b+ 100²? 0.5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. Jadi, dispersi variabel acak kedua adalah dispersi pertama beberapa ribu kali lebih banyak. Dengan demikian, bahkan tidak mengetahui hukum distribusi nilai-nilai ini, sesuai dengan nilai dispersi yang diketahui, kita dapat membantahnya H. sedikit menyimpang dari harapan matematikanya sementara untuk Y. Penyimpangan ini sangat substansial.

Dispersi properti.

1) dispersi permanen DARI sama dengan nol:

D. (C.) = 0. (7.8)

Bukti. D.(C.) = M.((C - M.(C.))²) = M.((C - C.)²) = M.(0) = 0.

2) Pengganda permanen dapat dibuat untuk tanda dispersi, mendirikannya di kotak:

D.(Cx.) = C.² D.(X.). (7.9)

Bukti. D.(Cx.) = M.((CX - M.(Cx.))²) = M.((CX - cm.(X.))²) = M.(C.²( X - M.(X.))²) =

= C.² D.(X.).

3) Dispersi jumlah dari dua variabel acak independen sama dengan jumlah dispersi mereka:

D.(X + Y.) = D.(X.) + D.(Y.). (7.10)

Bukti. D.(X + Y.) = M.(X.² + 2. Xy + Y.²) - ( M.(X.) + M.(Y.))² = M.(X.²) + 2 M.(X.)M.(Y.) +

+ M.(Y.²) - M.²( X.) - 2M.(X.)M.(Y.) - M.²( Y.) = (M.(X.²) - M.²( X.)) + (M.(Y.²) - M.²( Y.)) = D.(X.) + D.(Y.).

Corollary 1.Dispersi jumlah dari beberapa variabel acak yang saling independen sama dengan jumlah dispersi mereka.

Corollary 2.Dispersi dari jumlah variabel konstan dan acak sama dengan dispersi variabel acak.

4) Dispersi perbedaan dua variabel acak independen sama dengan jumlah dispersi mereka:

D.(X - Y.) = D.(X.) + D.(Y.). (7.11)

Bukti. D.(X - Y.) = D.(X.) + D.(-Y.) = D.(X.) + (-1) ² D.(Y.) = D.(X.) + D.(X.).

Dispersi memberikan kuadrat rata-rata penyimpangan variabel acak dari rata-rata; Untuk memperkirakan penyimpangan itu sendiri, nilai yang disebut oleh rata-rata penyimpangan kuadratik.

Definisi 7.6.Penyimpangan kuadratik sedang Σ variabel acak. H. Disebut akar kuadrat dari dispersi:

Contoh. Dalam contoh sebelumnya, penyimpangan kuadratik sedang H. dan Y. sama dengannya